苏教版必修第一册课件第3章 本章小结与复习

第3章本章小结与复习 内容索引0102网络构建归纳整合专题突破素养提升 网络构建归纳整合 专题突破素养提升 专题一不等式的性质及应用1.不等式的性质常用来比较大小、判断命题真假和证明不等式,常结合特殊值法进行判断.2.掌握不等式的性质,重点提升数学抽象和逻辑推理的核心素养. 【例1】(1)已知x,y都是实数,则x2+y2+12(x+y-1).(填“>”“<”或“=”)(2)(多选题)(2022江苏南京期中)下列说法正确的是()A.若a>b,则a2>b2 解析(1)∵x,y都是实数,且x2+y2+1-2(x+y-1)=x2+y2+1-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2+1≥1>0,∴x2+y2+1>2(x+y-1).答案(1)>(2)BD(2)对于A,令a=2,b=-3,满足a>b,但a2<b2,故A错误;对于B,∵a>b>0,c>d>0,∴ac-bd>0,cd>0, 对于C,令a=1,b=-1,d=1,c=-1,满足a>b,c<d,但a+c=b+d,故C错误;对于D,∵a>b>0,c<0,∴b-a<0,a-c>0,故选BD. 规律方法不等式性质的应用 变式训练1 专题二利用基本不等式求最大(小)值【例2】(1)已知x,y都是正实数,且x+2y=xy,则x+y的最小值为.(2)已知x>2,求y=x+的最小值. 规律方法基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据,在解决数学问题和实际问题中应用广泛. 变式训练2 (1)答案C 专题三一元二次不等式的解法1.对于一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(不等式右侧为0,二次项系数为正),然后能分解因式的变为因式相乘的形式,然后得到不等式的解集.2.借助不等式的解法,培养逻辑推理和数学运算的核心素养. 角度1含参数的不等式的解法【例3】设a,b为实数,已知关于x的不等式ax2-3x+2<0的解集A={x|1<x<b}.(1)求a,b的值;(2)若B={x|x2-(m+1)x+m<0},且A∩B=B,求实数m的取值范围.解(1)由题意知,1和b是方程ax2-3x+2=0的两根, (2)由(1)知,A={x|1<x<2},B={x|x2-(m+1)x+m<0}={x|(x-1)(x-m)<0}.因为A∩B=B,所以A⊇B.当B=⌀时,m=1,当B≠⌀时,应满足B={x|1<x<m},且1<m≤2.综上所述,实数m的取值范围为{m|1≤m≤2}. 规律方法含有参数的不等式的解法(1)若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论.(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式.(3)其次对相应方程的根进行讨论,比较大小,写出解集. 变式训练3设函数y=ax2+(b-2)x+3(a≠0).(1)若不等式y>0的解集为{x|-3<x<1},求a,b的值;(2)若b=-a,求不等式y≤1的解集.解(1)由不等式y>0的解集为{x|-3<x<1},可知方程ax2+(b-2)x+3=0的两根为-3和1,且a<0,由根与系数的关系可得 (2)当b=-a时,不等式y≤1,即ax2-(a+2)x+2≤0(a≠0),即(ax-2)(x-1)≤0(a≠0). 角度2不等式恒成立问题【例4】已知关于x的不等式x2+mx>4x+m-4.(1)若对一切实数x不等式恒成立,求实数m的取值范围;(2)若对一切大于1的实数x不等式恒成立,求实数m的取值范围.解(1)将不等式x2+mx>4x+m-4整理,转化为x2+(m-4)x-m+4>0.由Δ=(m-4)2-4(4-m)<0,解得0<m<4.故m的取值范围是{m|0<m<4}. ∴m>0.故实数m的取值范围为{m|m>0}.(方法二)令y=x2+(m-4)x-m+4.∵对一切大于1的实数x,y>0恒成立, 规律方法对于不等式恒成立求参数取值范围的问题常见的类型及解法有以下几种:(1)变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元,一般知道取值范围的变量要看作主元.(2)分离参数法(3)数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化. 变式训练4已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0.(1)若不等式的解集为(2,3),求实数k的值;(2)若k>0,且不等式对∀x∈(1,3)都成立,求实数k的取值范围.解(1)∵不等式kx2-2x+6k<0的解集为(2,3),∴2和3是方程kx2-2x+6k=0的两根且k>0, 专题四不等式在实际问题中的应用1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最大(小)值,根据题设条件构建数学模型是关键.2.利用不等式解决实际应用问题,提升数学建模和数学运算的核心素养. 【例5】某公司一年购买某种货物600吨,每次都购买x吨,运费为6万元/次,一年的存储费用为4x万元.一年的总费用y(单位:万元)包含运费与存储费用.(1)要使总费用不超过公司年预算260万元,求x的取值范围;(2)要使总费用最小,求x的值. 解(1)因为公司一年购买某种货物600吨,每次都购买x吨,解得20≤x≤45,所以x的取值范围为[20,45]. 规律方法利用不等式解决实际问题时注意以下两个方面:(1)理清题目中涉及的变量,选择合适的变量设为x,能用它表示其余变量;(2)在实际问题中要注意变量x的取值范围. 变式训练5某地区有200户农民,且都从事水果种植,据了解,平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构,当地政府决定动员部分农民从事水果加工,据估计,若能动员x(x>0)户农民从事水果加工,则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4x%,而从事水果加工的农民平均每户收入将为3(a-)(a>0)万元.(1)若动员x户农民从事水果加工后,要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入,求x的取值范围;(2)在(1)的条件下,要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入,求a的最大值. 解(1)由题意得(200-x)×3(1+4x%)≥200×3,解得0≤x≤175.又因为x>0,且x∈N*,所以x的取值范围为{x|0<x≤175,x∈N*}. 当且仅当x=100时,等号成立,所以0<a≤11,即a的最大值为11. 本课结束