湘教版必修第二册课件3.4.1 三角函数的周期性

1．理解周期函数与最小正周期的意义，会求三角函数的最小正周期．2．了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义．3．理解y＝sinx的图象与y＝Asinωx的图象之间的变换关系．4．掌握参数A、ω对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．3.4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质3.4.2函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(一)3.4.1三角函数的周期性 函数的周期性(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在__________，使得当x取定义域内的_________时x±T都有意义，_____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)一般地，如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的___________．(3)2π是y＝sinx，y＝cosx的最小正周期，π是y＝tanx的最小正周期．自学导引1．非零常数T每一个值f(x±T)＝f(x)最小正周期 2.图象的伸缩变换(1)一般地，对任意A>0，A≠1，函数y＝Asinx，x∈R的图象可以由y＝sinx的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标乘以A得到．y＝Asinx的周期仍是2π，值域为[－A，A]，最大值和最小值分别为A和－A.3． 函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是否为周期函数？如果是，它的最小正周期是多少？自主探究 1．答案C预习测评y＝|cosx|的周期是()．2．解析由函数y＝|cosx|的图象可知，它的周期T＝π.答案B 把y＝sinx的图象上每个点的横坐标缩短到原来的得到函数________的图象()．3.答案A 4.答案D 对函数周期的理解(1)定义应对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值满足f(x±T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期．例如：名师点睛1. (3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期． (4)并不是所有周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数f(x)＝C(C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x＋T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期．(5)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈Z，且k≠0)一定是函数的周期． (6)在周期函数中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT(k∈Z，且k≠0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．(1)这种y＝sinx与y＝Asinx(A>0)之间的图象变换实质上是纵向的伸缩．(2)对于函数y＝sinx与y＝sinωx(ω>0)之间的图象变换实质上是横向的伸缩．2． 求下列函数的周期．题型一三角函数的周期性【例1】典例剖析 (2)作出y＝|sin2x|的图象． (2)求函数的最小正周期的常用方法有：①定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质(如本例中sin(x＋2kπ)＝sinx)，进而推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T即可．②图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象便可求出T.③结论法，即利用上述结论求形如y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期． 1. 如何由y＝sinx的图象得到函数y＝3sin2x的图象？题型二图象的伸缩变换【例2】 把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，所得函数图象所对应的解析式为_______．2. 判断函数f(x)＝tan|x|的周期性．错解当x＞0时，f(x)＝tan|x|化为y＝tanx，它是周期函数，周期为π；当x＜0时，f(x)＝tan|x|化为y＝－tanx，它也是周期函数，周期为π.故函数f(x)＝tan|x|是周期函数，周期为π.错因分析函数的周期性是对整个定义域而言的，而这种错误解法把一个应整体考虑的问题人为地分割成x＞0和x＜0两部分，使得函数表面看起来是周期函数，其实不然．误区警示未透彻理解周期函数的定义而出错【示例】 纠错心得判断一个函数是周期函数，需要按照定义进行证明．指出一个函数不是周期函数，则只须举一反例即可．本例也可以通过画出其图象来说明它不是周期函数，当x＞0时，f(x)＝tan|x|化为f(x)＝tanx，它的图象是可知的，再将这部分图象以y轴为对称轴作出其在y轴左侧的图象，整个图象如图，即可知道它不是周期函数． 周期性是三角函数的重要性质之一，周期的求法有定义法、公式法、图象法等．伸缩变换y＝af(x)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<a<1)为原来的a倍(横坐标不变)得到；y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸长(0<a<1)或缩短(a>1)为原来的倍(纵坐标不变)而得到．课堂总结1．2．