华师大版八下数学17.4.2反比例函数的图象和性质导学案

2.反比例函数的图象与性质学习目标：1.会利用描点法画出反比例函数的图象,理解反比例函数的图象是双曲线.2.通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质.3.会用待定系数法求反比例函数的表达式.自主学习一、知识链接1.正比例函数图象是什么形状？分别写出各自有怎样的性质？2.在直角坐标系中，由函数表达式画函数图象主要的步骤有哪些？合作探究一、探究过程探究点1：反比例函数的图象活动1:画出反比例函数的图象.（1）列表：x…-6-3-2-11236………(2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在如图所示的直角坐标系中描出对应的点. （3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点，就得到反比例函数的图象.问题1：（1）反比例函数的图象与坐标轴有交点吗？为什么？（2）仅凭两个点的坐标，能画出反比例函数的图象吗？活动2：画出反比例函数的图象．问题2：（1）这个函数的图象在哪两个象限？和函数的图象有什么不同？（2）反比例函数(k≠0)的图象在哪两个象限内？【要点归纳】反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象由分别位于______个象限内的_____条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线.当k＞0时，函数的图象在第______象限；当k＜0时，函数的图象在第______象限.例1若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值．【针对训练】若双曲线y＝的两个分支分别在第一、三象限，则k的取值范围是（　　）A.k＞B.k＜C.k＝D.不存在探究点2：反比例函数的性质 思考：联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？【要点归纳】反比例函数有下列性质：(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增大而减少；(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增大而增大．例2已知函数为反比例函数．(1)求m的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？(3)当－3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值．例3在反比例函数y＝的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是（　　）A.y3＞y1＞y2B.y3＞y2＞y1C.y2＞y1＞y3D.y1＞y3＞y2【方法总结】此题有多种解法，图象法形象直观，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答许多选择题都很有效，要注意学会使用.【针对训练】若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数（k＜0）图象上，则a、b、c从大到小排列是.探究点3：求反比例函数的表达式例4已知反比例函数的图象过点(1,－2)．(1)求这个函数的表达式；(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？ 【针对训练】已知y是x的反比例函数，当x＝－4时，y＝3.(1)写出y与x的函数表达式；(2)当x＝－2时，求y的值；(3)当y＝12时，求x的值．【方法总结】(1)求反比例函数表达式时常用待定系数法，先设其表达式为y＝(k≠0)，然后再求出k值；(2)当反比例函数的表达式y＝(k≠0)确定以后，已知x(或y)的值，将其代入表达式中即可求得相应的y(或x)的值．探究点4：反比例函数表达式中k的几何意义操作：1.在反比例函数的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形.填写下列表格：S1的值S2的值 S1与S2的关系猜想 S1，S2 与 k的关系P (2，2) ，Q (4，1)2.若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：S1的值S2的值S1与S2的关系猜想与 k 的关系P (－1，4)，Q (－2，2) 猜想：证明：若点P是反比例函数图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.【方法总结】对于反比例函数，点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形AOBQ=|k|.推理：如图，△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=.例5如图，点A在反比例函数的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，则该反比例函数的表达式为．二、课堂小结反比例函数的图象和性质图象和性质k>0时，图象位于第_______象限，在每个象限内，y随x的增大而_____.k<0时，图象位于第________象限，在每个象限内，y随x的增大而_____. 特征无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交.对称性既是______对称，又是________对称，其对称轴是________或________，对称中心是_________.k的几何意义若点P是反比例函数图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.当堂检测1.已知反比例函数y＝的图象经过点(1，－2)，则k的值为(　　)A．2B．－C．1D．－22.对于反比例函数，下列说法不正确的是（）A．点在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．当时，随的增大而增大D．当时，随的增大而减小3.已知点A（）、B（）是反比例函数（）图象上的两点，若，则()　A．B．C．D．4.在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是.5.若点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N，若四边形PMON的面积为3，则这个反比例函数的关系式是.6.反比例函数y＝(k≠0)，当x的值由4增加到6时，y的值减少3，求这个反比例函数的表达式．参考答案自主学习一、知识链接1.解：正比例函数y=6x，y=-6x的图象都是一条过原点的直线.y=6x，函数值y随自变量x的增大而增大；y=-6x，函数值y随自变量x的增大而减小.2.解：列表，描点，连线. 二、新知预习合作探究一、探究过程探究点1：反比例函数的图象活动1:解：(1)从左到右依次填：-1，-2，-3，-6,6,3,2,1.（2）略（3）图略问题1：解：（1）没有.因为x和y均不能为0.（2）不能，因为反比例函数的图象不是一条直线.活动2:图略问题2：解：（1）这个函数的图象在第二、四象限.和函数的图象形状相同，位置不同.(2)当k>0时，图象在第一、三象限；当k<0时，图象在第二、四象限.【要点归纳】两两一、三二、四【典例精析】例1解：由题意得2-m2=-1，且m+1<0，解得m=-.【针对训练】A探究点2：反比例函数的性质例2解：（1）由题意得3-m2=-1，且m-2≠0，解得m=-2.(2)图象在第二、四象限.在每个象限内，y随x的增大而增大.（3）当x=-时，y=8.当x=-3时，y=.故当－3≤x≤-时，函数的最大值为8，最小值为.例3C【针对训练】b>a>c探究点3：求反比例函数的表达式例4解：(1)，将(1,－2)代入，得-2=k，则函数表达式为.(2)当x=-5时，y=，即A(-5，).点A关于x轴和y轴对称的点不在图象上，关于原点对称的点在图象上，坐标为(5，-).【针对训练】解：(1)(2)y=6.(3)x=-1.探究点4：反比例函数表达式中k的几何意义 操作：1.从左到右依次填：44S1=S2S1=S2=k2.从左到右依次填：44S1=S2S1=S2=-k猜想：证明：我们就k<0的情况给出证明：解：设点P的坐标为(a，b)，∵点P(a，b)在函数的图象上，∴，即ab=k.若点P在第二象限，则a<0，b>0，∴S矩形AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；若点P在第四象限，则a>0，b<0，∴S矩形AOBP=PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.综上，S矩形AOBP=|k|.例5二、课堂小结从左到右，从上到下依次：一、三减小二、四增大轴中心y=xy=-x坐标原点当堂检测1.D2.C3.A4.k>35.6.当x＝4时，y＝；当x＝6时，y＝；∵当x的值由4增加到6时，y的值减少3，∴－＝3，解得k＝36.∴这个反比例函数的表达式为y＝.