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华师大版八下数学17.4反比例函数2反比例函数的图象和性质学案

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2.反比例函数的图象与性质学习目标:1.会利用描点法画出反比例函数的图象,理解反比例函数的图象是双曲线.2.通过反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质.3.会用待定系数法求反比例函数的表达式.自主学习一、知识链接1.正比例函数图象是什么形状?分别写出各自有怎样的性质?2.在直角坐标系中,由函数表达式画函数图象主要的步骤有哪些?合作探究一、探究过程探究点1:反比例函数的图象活动1:画出反比例函数的图象.(1)列表:x…-6-3-2-11236………(2)描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在如图所示的直角坐标系中描出对应的点. (3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得到反比例函数的图象.问题1:(1)反比例函数的图象与坐标轴有交点吗?为什么?(2)仅凭两个点的坐标,能画出反比例函数的图象吗?活动2:画出反比例函数的图象.问题2:(1)这个函数的图象在哪两个象限?和函数的图象有什么不同?(2)反比例函数(k≠0)的图象在哪两个象限内?【要点归纳】反比例函数(k为常数,且k≠0)的图象由分别位于______个象限内的_____条曲线组成,这样的曲线叫做双曲线.当k>0时,函数的图象在第______象限;当k<0时,函数的图象在第______象限.例1若反比例函数的图象在第二、四象限,求m的值.【针对训练】若双曲线y=的两个分支分别在第一、三象限,则k的取值范围是(  )A.k>B.k<C.k=D.不存在探究点2:反比例函数的性质 思考:联系一次函数的性质,你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加,函数y将怎样变化?有什么规律?【要点归纳】反比例函数有下列性质:(1)当k>0时,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x的增大而减少;(2)当k<0时,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y随x的增大而增大.例2已知函数为反比例函数.(1)求m的值;(2)它的图象在第几象限内?在各象限内,y随x的增大如何变化?(3)当-3≤x≤时,求此函数的最大值和最小值.例3在反比例函数y=的图象上有三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),若x1>x2>0>x3,则下列各式正确的是(  )A.y3>y1>y2B.y3>y2>y1C.y2>y1>y3D.y1>y3>y2【方法总结】此题有多种解法,图象法形象直观,具有一般性;特殊值法最简单,这种方法对于解答许多选择题都很有效,要注意学会使用.【针对训练】若点A(-2,a)、B(-1,b)、C(3,c)在反比例函数(k<0)图象上,则a、b、c从大到小排列是.探究点3:求反比例函数的表达式例4已知反比例函数的图象过点(1,-2).(1)求这个函数的表达式;(2)若点A(-5,m)在图象上,则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上? 【针对训练】已知y是x的反比例函数,当x=-4时,y=3.(1)写出y与x的函数表达式;(2)当x=-2时,求y的值;(3)当y=12时,求x的值.【方法总结】(1)求反比例函数表达式时常用待定系数法,先设其表达式为y=(k≠0),然后再求出k值;(2)当反比例函数的表达式y=(k≠0)确定以后,已知x(或y)的值,将其代入表达式中即可求得相应的y(或x)的值.探究点4:反比例函数表达式中k的几何意义操作:1.在反比例函数的图象上分别取点P,Q向x轴、y轴作垂线,围成面积分别为S1,S2的矩形.填写下列表格:S1的值S2的值 S1与S2的关系猜想 S1,S2 与 k的关系P (2,2) ,Q (4,1)2.若在反比例函数中也用同样的方法分别取P,Q两点,填写表格:S1的值S2的值S1与S2的关系猜想与 k 的关系P (-1,4),Q (-2,2) 猜想:证明:若点P是反比例函数图象上的任意一点,作PA垂直于x轴,作PB垂直于y轴,矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.【方法总结】对于反比例函数,点Q是其图象上的任意一点,作QA垂直于y轴,作QB垂直于x轴,矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形AOBQ=|k|.推理:如图,△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=.例5如图,点A在反比例函数的图象上,AC垂直x轴于点C,且△AOC的面积为2,则该反比例函数的表达式为.二、课堂小结反比例函数的图象和性质图象和性质k>0时,图象位于第_______象限,在每个象限内,y随x的增大而_____.k<0时,图象位于第________象限,在每个象限内,y随x的增大而_____. 特征无限接近坐标轴,但不与坐标轴相交.对称性既是______对称,又是________对称,其对称轴是________或________,对称中心是_________.k的几何意义若点P是反比例函数图象上的任意一点,作PA垂直于x轴,作PB垂直于y轴,矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.当堂检测1.已知反比例函数y=的图象经过点(1,-2),则k的值为(  )A.2B.-C.1D.-22.对于反比例函数,下列说法不正确的是()A.点在它的图象上B.它的图象在第一、三象限C.当时,随的增大而增大D.当时,随的增大而减小3.已知点A()、B()是反比例函数()图象上的两点,若,则() A.B.C.D.4.在反比例函数图象的每一支曲线上,y都随x的增大而减小,则k的取值范围是.5.若点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为M,N,若四边形PMON的面积为3,则这个反比例函数的关系式是.6.反比例函数y=(k≠0),当x的值由4增加到6时,y的值减少3,求这个反比例函数的表达式.参考答案自主学习一、知识链接1.解:正比例函数y=6x,y=-6x的图象都是一条过原点的直线.y=6x,函数值y随自变量x的增大而增大;y=-6x,函数值y随自变量x的增大而减小.2.解:列表,描点,连线. 二、新知预习合作探究一、探究过程探究点1:反比例函数的图象活动1:解:(1)从左到右依次填:-1,-2,-3,-6,6,3,2,1.(2)略(3)图略问题1:解:(1)没有.因为x和y均不能为0.(2)不能,因为反比例函数的图象不是一条直线.活动2:图略问题2:解:(1)这个函数的图象在第二、四象限.和函数的图象形状相同,位置不同.(2)当k>0时,图象在第一、三象限;当k<0时,图象在第二、四象限.【要点归纳】两两一、三二、四【典例精析】例1解:由题意得2-m2=-1,且m+1<0,解得m=-.【针对训练】A探究点2:反比例函数的性质例2解:(1)由题意得3-m2=-1,且m-2≠0,解得m=-2.(2)图象在第二、四象限.在每个象限内,y随x的增大而增大.(3)当x=-时,y=8.当x=-3时,y=.故当-3≤x≤-时,函数的最大值为8,最小值为.例3C【针对训练】b>a>c探究点3:求反比例函数的表达式例4解:(1),将(1,-2)代入,得-2=k,则函数表达式为.(2)当x=-5时,y=,即A(-5,).点A关于x轴和y轴对称的点不在图象上,关于原点对称的点在图象上,坐标为(5,-).【针对训练】解:(1)(2)y=6.(3)x=-1.探究点4:反比例函数表达式中k的几何意义 操作:1.从左到右依次填:44S1=S2S1=S2=k2.从左到右依次填:44S1=S2S1=S2=-k猜想:证明:我们就k<0的情况给出证明:解:设点P的坐标为(a,b),∵点P(a,b)在函数的图象上,∴,即ab=k.若点P在第二象限,则a<0,b>0,∴S矩形AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k;若点P在第四象限,则a>0,b<0,∴S矩形AOBP=PB·PA=a·(-b)=-ab=-k.综上,S矩形AOBP=|k|.例5二、课堂小结从左到右,从上到下依次:一、三减小二、四增大轴中心y=xy=-x坐标原点当堂检测1.D2.C3.A4.k>35.6.当x=4时,y=;当x=6时,y=;∵当x的值由4增加到6时,y的值减少3,∴-=3,解得k=36.∴这个反比例函数的表达式为y=.

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所属: 初中 - 数学
发布时间:2022-02-20 19:00:04 页数:8
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文章作者:随遇而安

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