2023届高三数学一轮复习大题专练06导数零点个数问题2

一轮大题专练6—导数（零点个数问题2）1．已知函数．（1）证明：有唯一极值点；（2）讨论的零点个数．解：（1）．设，则，故单调递增．又，．故存在唯一，使得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故是的唯一极值点；（2）由（1）是的极小值点，且满足．又；同理．故时，有两个零点；时，有一个零点；时，无零点．又令，解得，即．令，此时关于单调递增，故．令，解得，即．此时，故令，解得，即．-8-,此时关于单调递增，故．综上所述：当时，有两个零点；当时，有一个零点；当时，无零点．2．已知函数．（1）求函数的单调区间和极值；（2）画出函数的大致图象，并说明理由；（3）求函数的零点的个数．解：（1）函数，定义域为，则，令，解得，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，故当时，函数有极小值，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，有极小值，，无极大值；（2）令，解得，当时，，当时，，所以的图象经过特殊点，，，当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸式增长，增长速度更快，结合（1）中的单调性与极值情况，作出函数的图象如图所示：（3）函数的零点的个数为函数的图象与直线的交点个数，由（1）以及（2）的图象可知，当时，有极小值，结合函数的图象，所以关于函数的零点的个数如下：当时，零点的个数为0个；当或时，零点的个数为1个；-8-,当时，零点的个数为2个．3．已知函数．（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的零点个数，并给予证明．解：（1），由题意得，即在区间上恒成立，当时，，所以，故实数的取值范围是，．（2）由已知得，则，当时，，函数单调递减，又，（1），故函数有且只有一个零点．当时，令，得，函数单调递减；令，得，函数单调递增，而，在上恒成立），由于，所以，所以在，上存在一个零点，又，且，-8-,设（a），（a）在恒成立，故（a）在上单调递增，而，所以（a）在上恒成立，所以，所以在，上存在一个零点．综上所述，当时，函数有且只有一个零点；当时，有两个零点．4．已知函数，其中，．（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；（3）讨论函数在，上零点的个数．解：（1）时，，，，，，，故切线方程是：；（2），设，，故递减，，又时，，①若，即时，使，当时，，递增，当，时，，递减，在处取极大值，不存在极小值，②若，即，，-8-,在，递增，此时无极值，（3）由（2）可知：若时，由上问可知：，即时函数没有零点，若时，，时，递增，，时，递减，由得，从而，再设，则从而关于递增，①若，，此时，，若得或，时无零点，得，时有1个零点，当时，，，有1个零点，因此时无零点，时有1个零点；②，，此时，，，，，设，则，故，若即，即时无零点，-8-,若即，即时有1个零点，综上，，，时无零点，，时有1个零点．5．设，．（1）讨论在，上的单调性；（2）令，试判断在上的零点个数，并加以证明．解：（1），令，则，或，时，，单调递增，，时，，单调递减，时，，单调递增，，时，，单调递减，综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为，和，．（2）在上有3个零点，证明如下：，则，故是的一个零点，，是偶函数，要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，①当时，，令，即，，-8-,时，，单调递减，，，时，，单调递增，，在有唯一零点．②当时，由于，，，而在，单调递增，，故，故在，无零点，在有一个零点，由于是偶函数，在有一个零点，而，故在上有且仅有3个零点．6．已知函数的图象在点处的切线方程为．（1）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；（2）若函数在区间内有3个零点，求实数的范围．解：（1），．函数的图象在点处的切线的方程为．（1），（1），，解得，．．，，．当时，函数取得最大值，．-8-,对任意有恒成立，．．实数的取值范围是，．（2）由（1）可得：，，令，解得，1．列表如下：100单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：当时，函数取得极小值（1）；当时，函数取得极大值．要满足函数在区间内有3个零点，，解得，则实数的取值范围．-8-