2023届高三数学一轮复习大题专练11导数有解问题1

一轮大题专练11—导数（有解问题1）1．已知函数，其中．（1）当时，求函数的最值；（2）若存在唯一整数，使得，求实数的取值范围．解：（1）当时，，，且为定义在，，上的偶函数，令，解得，且当，，时，，当，，时，，（1），无最大值；（2）即，令，，作出函数与的大致图象如下，易知恒过点，且，由图象可知，要使存在唯一整数，使得，则，即，解得．故实数的取值范围为．2．已知函数．-7-,（1）当时，判断函数在区间内极值点的个数；（2）当时，证明：方程在区间上有唯一解．解：（1）当时，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以函数在区间内有且仅有1个极值点．（2）方程，即为方程，即为方程，令，，则，又，所以在上恒成立，所以在上单调递减，又因为（1），时，，令，可得，所以，所以存在，，使，即方程在区间上有唯一解．3．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数．．（1）若函数为，上的凸函数，求的取值范围；-7-,（2）若方程在，上有且仅有一个实数解，求的取值范围．解：（1），，若为，上的凸函数，则对恒成立，即对恒成立，而在，单调递增，，，解得：，故的取值范围是．（2）由得，令，（1），，当时，对恒成立，在，上单调递增，又（1），在，上有且只有1个实数根，符合题意，当时，令得，，若即时，对恒成立，在，单调递减，在，上有且只有1个实数根，符合题意，若即时，在，递增，在，递减，，，，故存在，，即在，上有2个零点，综上，的取值范围是，，．4．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若是函数的极值点，且关于的方程有两个实根，求实数的取值范围．解：（Ⅰ），，，当时，，函数在单调递增，-7-,当时，令，解得：，当时，，函数在递增；综上：当时，函数的递增区间是，当时，函数的递增区间是．（Ⅱ），是函数的极值点，（1），解得：，，方程即，设，则，故在递增，在递减，故（1），，，设，则，，故函数在递减，在递增，故（1），又当无限增大或无限接近0时，都趋近于0，故，故实数的取值范围是，．5．已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）当时，函数有两个零点，求正整数的最小值．-7-,解：（1）时，，，，（1），（1），故切线方程是，即；（2），当时，由可得，由得，由，得，①若时，在上单调递增，至多1个零点，不合题意，②若时，函数在上单调递减，在上单调递减，（1），故若函数有2个零点，则，令，，则，在递减，又（2），（3），（4），故存在使得，则的解集是，，综上，的取值范围是，，，故正整数的最小值是4．6．已知函数．（1）设曲线在处的切线方程为，求证：；（2）若方程有两个根，，求证：．证明：（1），则，故，，故切线方程是：，即，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，-7-,故，即；（2）不妨设，直线与相交于点，又由（1）知：，则，从而，当且仅当，时取“”，下面证明：，由于，故，即证，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故（e），即成立，当且仅当，时取“”，由于等号成立的条件不同时满足，故．7．已知函数的导函数为．（1）当时，求证：；（2）若只有一个零点，求的取值范围．解：，（1）证明：当时，，设，则，故在单调递增，在单调递减，又由于，故，由于，故，即；（2）注意到（1），-7-,①若，，故在上单调递减，取，则，故存在使得（a），即在上只有1个零点，②若，当时，，而，故，当时，，故，即在上无零点，③当时，，，在上单调递增，设且，当时，，故存在使得（b），即在上只有1个零点，综上：若只有1个零点，，，．-7-