2023届高三数学一轮复习大题专练04导数极值极值点问题2

一轮大题专练4—导数（极值、极值点问题2）1．已知函数．（1）若，讨论的单调性；（2）当时，讨论函数的极值点个数．解：（1）的定义域为，，令，，因为，所以，所以在上单调递增，又（1），所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．（2）①当时，由（1）可知在上有唯一极小值（1），所以极值点个数为1个．②当时，令，得，当时，，单调递减，当，时，，单调递增，所以，令（a），（a），因为，所以（a），即（a）在，上单调递减，所以（a），（ⅰ）当时，，在上，恒成立，即在上恒成立，所以无极值点；（ⅱ）当时，，（a），即，易知，，所以存在唯一，使得，且当时，，当时，，则在处取得极大值；-8-,又（1），所以当时，，当时，，即在处取得极小值，故此时极值点个数为2．综上所述，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为2；当时，的极值点个数为1．2．已知函数（其中常数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若有两个极值点、，且，求证：．解：，则，，令，，△，①当△，即时，，故，所以在上单调递增；②当△，即当时，有两个实数根，，又，（1），且对称轴为．，故，，所以当或时，，则，故单调递增；当时，，则，故单调递减；综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在，单调递减；（Ⅱ）证明：因为有两个极值点、，且，所以为的极大值点，-8-,由可知，，，所以，，令，则对于恒成立，故在上单调递增，所以，故．3．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当，时，求证：总存在唯一的极小值点，且．（1）解：函数的定义域为．当时，，所以，易知在上单调递增，且．则在上，在上，从而在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：，所以，且．设，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，由，得，设，则在，上单调递增且．则当，时，都恰有一个，使得，-8-,且当时，当，时，因此总有唯一的极小值点．所以，从而，极小值由，可得当，时，，即，随增大而增大，易得，．令，则，，设，（1），所以在，上单调递减，且（1），从而．即．4．已知函数．（1）若在处有极大值，求的取值范围；（2）若的极大值为，的极小值为，当时，求的取值范围．解：（1），（1分）①当时，，故有：当时，，单调递增，当时，，单调递减，此时在处有极大值；（2分）②当时，即．令，解得：．故有：当时．，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增．此时在处有极大值：（3分）③当时，，在定义域内单调递增，无极大值：（4分）-8-,④当时，即，令，解得：．故有：当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，此时在处有极小值：（5分）综上所述，当时，在处有极大值，即的取值范围是．（6分）（2）由（1）可知，当时，，当时，，所以且，（7分）令，则，所以在上单调递增，（8分）又（1），所以在单调递减，在单调递增，（9分）于是（a），所以（a）在或处取得最大值，，（10分）由于且，（a）（1），（11分）所以，即的取值范围是，．（12分）5．已知函数．（1）若，求的极值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．-8-,解：（1）时，，定义域是，，当时，，递减，时，，递增，故当时函数有极小值（1），无极大值；（2）的定义域是，，①时，，则，在递增，②时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；综上：时，在递增，时，在递减，在递增；（3），定义域是，有2个极值点，，即，则有2个不相等实根，，△，，解得：，且，从而，由不等式恒成立，得恒成立，-8-,令，当时，恒成立，故函数在上单调递减，，故实数的取值范围是，．6．已知函数．（1）当时，求函数在，（2）处的切线方程；（2）当，证明：函数存在唯一极值点，且．解：（1）当时，．，（2），（2），函数在，（2）处的切线方程为：，整理为：．（2）证明：函数，．，设，，，因此与的符号相同．，显然，当时，，函数单调递增．又（1），．，存在唯一，，使得．对于，则有时，；，时，．-8-,函数存在唯一极值点，，．由，可得：，解得，，，，．-8-