数学（心得）之数学知识的特征与学习方式的有效选择

数学论文之数学知识的特征与学习方式的有效选择 <br />　　新课程强调自主、合作、探究等学习方式，有利于培养学生的创新精神和实践能力。但是，仅有这种学习方式是不够的，因为数学知识有不同的特征。本文主要论述数学知识的特征，进而阐述不同特征的知识需要选择不同的学习方式：有的宜选择接受学习方式，有的宜选择探究学习方式。这里的接受学习有两层含义：一是指有的内容不易探究、发现，需要教师在课堂教学中加以呈现；二是指学生对于有的内容的理解有限，在不能完全理解的情况下，要先接受下来，进行相应的训练，并在以后的学习中再逐步加深理解。 <br />　　一  数学知识的特征 <br />　　数学是关于数和形的科学，它与物理学、化学、生物学等学科不同，并不以客观世界的具体物质运动形态为研究对象。&ldquo;数&rdquo;和&ldquo;形&rdquo;都抽象地存在于人的理性思维世界。从根本上说，数学对象来源于现实世界，是具体事物的抽象。但是，有许多数学知识，则显示出超验性、合情性或程序性。这些特征，对数学教学具有特殊的要求。 <br />　　1  知识的超验性和经验性 <br />　　数是抽象的产物。&ldquo;我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校里学习的是抽象的乘法表，而不是男孩的数目乘以苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱&hellip;&hellip;同样在几何中研究的，例如，是直线，而不是拉紧了的绳子。&rdquo;[1]数学的研究对象，是人们对现实世界抽象的结果，甚至是对抽象的对象进一步抽象的结果。正因为如此，数学才有今天的蓬勃发展。因而，数学的研究对象与日常生活经验就有了远近之别：有的与学生的生活和知识经验较为接近，他们可以在自己的经验基础上探究并建构起这些数学知识，这些知识具有经验性；有的是人类理性思维的结晶，远离学生的生活和知识经验，学生很难通过自己的经验探究、发现这些数学知识，这些知识具有超验性。 <br />　　人们没有见过自然数&ldquo;1&rdquo;，只见过一头牛、一只羊。自然数、分数、小数可以通过一些表征物来表示，较为直观，而负数就不直观了。无理数较为抽象，也很难找到一个具体事物作为原型。即便是最精确的尺子，也很难把无理数量出来。无理数是人类长期探索的结晶，是人类理性思维的结果。无理数是无限不循环的小数。人们对于&ldquo;无限&rdquo;难以把握，对于什么是&ldquo;不循环&rdquo;更不能直接感受，也没法说清楚。在中学，通常是用反证法来证明 是一个无理数。从直观的角度来看，这个证明并没有给我们提供具体的信息。因而，学生很难靠自己的经验来建构无理数这个概念。如果说可以把 看作边长为1的单位正方形对角线的长，那么，对π、e如何理解呢？难怪有中学生提出这样的问题：圆周率π是否可能以某个特别长的数作循环节而成为循环小数？代数式更加抽象，离我们的经验也就更远。对于数的运算而言，自然数的运算法则较为直观；小数和分数的运算法则介于具体与抽象之间；实数与代数式的运算法则超越了我们的经验，只能由自然数、有理数的运算法则迁移过来。总之，像无理数、虚数这样一些数学知识，学生不可能用自己的经验&ldquo;探究&rdquo;出来。为此，我们可以把这些知识直接告诉学生，让他们接受下来，然后让学生通过自己的理性思维逐步地加以消化、理解。 <br />　　数学知识并不都具有超验性，大量的数学知识具有经验性。例如，田地的面积用&ldquo;亩&rdquo;丈量，用分数表示&ldquo;部分&rdquo;的大小，用数据描述一个&ldquo;事件&rdquo;发生的概率等，都是一些很具体且可以通过经验来获得的数学知识。这些知识都具有经验性，学生可以通过自主活动、积极思考、主动探究来建构。 <br />　　2  知识的合情性和演绎性 <br />　　数学知识的获得，需要经过严格的演绎证明。只有经过严格演绎证明的结论，才能称为数学知识，也才是可以接受的。数学知识的可证明性亦可称为演绎性。数学知识的获得，往往要经过不完全归纳、试验、猜测等探索与合情推理的过程。特别是在中小学，由于学生的认知水平较低，许多结论是通过举例和不完全归纳得到的，是&ldquo;混而不错&rdquo;的，因而数学知识又显示出&ldquo;合情性&rdquo;。 <br />　　比如，对于数的运算律的学习。自然数、分数乘法的交换律较为直观，可以通过画图、举例来说明。当然，这种直观的说明具有相当的深刻性。2×3=3×...