广东省东莞市2022届高三数学模拟考试试题 理（一）新人教A版

东莞市2022届高三理科数学模拟试题(一)（满分150分）考试时间：120分钟参考公式：柱体的体积公式，锥体的体积公式.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）UAB1.设集合，则图中阴影部分所表示的集合为(）A.B.C.D.2.已知复合命题是真命题，则下列命题中也是真命题的是（）A.B.C.D.3.已知向量，若，则（）111122主视图侧视图俯视图A.B.C.D.4.下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（）A.B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A.B.C.D.6.已知等差数列中，，前项和为，等比数列满足，，前项和为，则（）A.B.C.D.7.已知直线，,若，则（）A.或B.或C.D.-11-8.已知函数的定义域为，如果存在实数，使对任意的，都有，则称函数为有界函数，下列函数：①②③；④为有界函数的是（）A.②④B.②③④C.①③D.①③④二、填空题：（本大题共7小题，其中9~13题为必做题，14，15为选做题，每小题5分，总分30分.）（必做题部分）9.函数在点处的切线方程为___________________.10.在中，，则此三角形的最短边的长度是________.11.已知递增的等差数列满足，则___________.12.已知椭圆的离心率为，以其焦点为顶点，左右顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为______.13.如图，为了测量两座山峰上两点P、Q之间的距离，选择山坡上一段长度为米且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得四个角的大小分别是,,，可求得P、Q两点间的距离为米.（选做题部分）ABCDONM14.（参数方程极坐标选做题）在极坐标系中，过点作圆的切线，切线的极坐标方程是.15.（平面几何选讲选做题）如图，AB为的直径，AC切于点A，且,过C的割线CMN交AB的延长线于点D，若,则BD=.三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）-11-16.（本小题满分12分）已知函数（其中）的最小正周期为.⑴求的值；⑵设，，，求的值.17．（本小题满分12分）某工厂从一批产品中随机抽取40件进行检测，下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为，.⑴求图中的值；⑵若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至少有2件产品的净重在中的概率；0.050.0750.1250.159698100102104106克频率组距⑶若产品净重在为合格产品，其余为不合格产品.从这40件抽样产品中任取2件，记表示选到不合格产品的件数，求的分布列和数学期望.18.（本小题满分14分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边，连接A1B,A1C,A1D.⑴当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B-A1C-D的值；C1ABCDA1B1D11⑵线段A1C上是否存在一点P，使得A1C平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由.-11-19.（本小题满分14分）已知数列中，，数列满足.⑴求数列的通项公式；⑵证明：.20.（本小题满分14分）已知直角坐标系中，圆的方程为，两点，动点P满足.⑴求动点P的轨迹C方程；⑵若对于轨迹C上的任意一点P，总存在过点P的直线交圆于M,N两点，且点M是线段PN的中点，求的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数.⑴求函数的单调区间和极值；⑵若，函数的图像上存在两点，其横坐标满足，且的图像在此两点处的切线互相垂直，求的取值范围.东莞市2022届高三理科数学模拟试题(一)参考答案一、选择题：-11-CBADDABC二、填空题：9.；10.；11.12.；13.900；14.；15.三、解答题：16.解：⑴…………3分，所以.………………………………………………6分注：如果等正确结果的话相应给分即可.⑵所以………………………………………………………………7分所以…………………………………………………………………8分因为，所以，10分所以.…………………………12分17.解：⑴由频率分布直方图知：，解得：……………………2分⑵由⑴知，这批产品中净重在中的频率为，根据题意概率为，记从这批产品中有放回地随机抽取3件时，净重在中的产品件数为，则，故-11-……………………5分⑶40件抽样产品中不合格品的件数为件，合格品件数为件………………………………6分的可能取值为三种情况………………9分所以的分布列为012P……………12分ABCDA1B1C1DM18.解：法一：⑴根据题意，长方体体积为……2分当且仅当，即时体积有最大值为1所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形……4分作BMA1C于M，连接DM，BD……………5分因为四边形ABCD为正方形，所以与全等，故DMA1C，所以即为所求二面角的平面角……6分因为BC平面AA1B1B，所以为直角三角形又，所以，同理可得，在BMD中，根据余弦定理有：………………8分-11-因为，所以即此时二面角B-A1C-D的值是.……………………………………………………9分⑵若线段A1C上存在一点P，使得A1C平面BPD，则A1CBD………………10分又A1A平面ABCD,所以A1ABD，所以BD平面A1AC所以BDAC……………………………………………………………………12分底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A1C上存在点P满足要求，否则不存在由⑴知，所求点P即为BMA1C的垂足M此时，……………………………………………………14分法二：根据题意可知，AA1,AB,AD两两垂直，以AB为轴，AD为轴，AA1为轴建立如图所示的空间直角坐标系：⑴长方体体积为………………………2分当且仅当，即时体积有最大值为1…………………………………3分所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形……4分则，O(A)BCDA1B1C1D1设平面A1BC的法向量，则取，得：………………6分同理可得平面A1CD的法向量……7分所以，………………8分又二面角B-A1C-D为钝角，故值是.…………9分（也可以通过证明B1A平面A1BC写出平面A1BC的法向量）⑵根据题意有，若线段A1C-11-上存在一点P满足要求，不妨，可得即：…………………………11分解得：…………………………………………………………13分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A1C上处.………………………………………………………14分19.解：⑴…………………………………………2分…………………6分又，所以数列是首项为，公差为的等差数列，…………8分（也可以求出，猜想并用数学归纳法证明，给分建议为计算前2项1分，计算前3项或者更多2分，猜想通项公式2分，数学归纳法证明4分数学归纳法证明过程如下：①当时，符合通项公式；②假设当时猜想成立，即，那么当时，即时猜想也能成立-11-综合①②可知，对任意的都有.⑵当时，左边=不等式成立；……………………………………9分当时，左边=不等式成立；…………………………10分当时，左边=不等式成立…………………………………………………………………………14分20.解：⑴设，因为，所以消去并注意到可得动点P的轨迹C即为线段AB，方程为：……5分，不写出的范围扣1分⑵设，则方程组即有解……7分法一：将方程组两式相减得：………8分原方程组有解等价于点到直线的距离小于或等于，即…………………………………………………………9分整理得：即-11-也就是，对任意的恒成立……………………10分根据二次函数的图像特征可知，在区间上，当或者时，；当时，…………………………12分所以，……………………………………………………13分特别的，当时，圆与切于点，此时过C上的点没有合乎要求的直线，故，即所求的范围为.……14分法二：上述方程组有解即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，故对于任意的都有成立……9分整理得：对任意的恒成立……………………10分根据二次函数图像特征可知，在区间上，当或者时，；当时，…………………………12分所以，……………………………………………………13分特别的，当时，圆与切于点，此时过C上的点没有合乎要求的直线，故，即所求的范围为.……14分21.解：⑴函数的定义域为，……1分当时，原函数在区间上有，单调递增，无极值；当时，原函数在区间上有，单调递增，无极值；……2分当时，令得：………………………………3分当时，，原函数单调递增；当时，-11-，原函数单调递减…………………………………………………………………………………4分所以的极大值为………………………………5分⑵由⑴知，当时……………………6分函数图像上存在符合要求的两点，必须，得：；………………………………………………………………………8分当时，，函数在点处的切线斜率为；当时，，函数在点处的切线斜率为；………………………………………………………………10分函数图像在两点处切线互相垂直即为：，即………………………………11分因为，故上式即为…12分所以，解得：综合得：所求的取值范围是.………………………………14分-11-