广东省汕头市2022届高三数学第一次模拟考试试题 理（含解析）新人教A版

2022年广东省汕头市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题：（40分）1．（5分）（2022•汕头一模）若x，y∈R，则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的（　　）　A．充分不必要条件B．必要不充分条件　C．充要条件D．不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：根据复数的分类，x+yi为纯虚数的充要条件是x=0，y≠0，仅有x=0不能断定x+yi为纯虚数．解答：解：根据复数的分类，x+yi为纯虚数的充要条件是x=0，y≠0．“若x=0则x+yi为纯虚数”是假命题，反之为真．∴x，y∈R，则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的必要不充分条件故选B点评：考查充分，必要条件的判断，复数的基本概念的应用．　2．（5分）（2022•汕头一模）集合A={x|2022＜x＜2022}，B={x|x＞a}可满足A∩B=ϕ．则实数a的取值范围（　　）　A．{a|a≥2022}B．{a|a≤2022}C．{a|a≥2022}D．{a|a≤2022}考点：交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：根据条件，可借助于数轴将集合A与集合B在数轴上表示出来，从而可求实数a的取值范围．解答：解：将集合A={x|2022＜x＜2022}，B={x|x＞a}画在数轴上根据A∩B=∅，∴a≥2022．故选C点评：本题以集合为载体考查不等式运算，关键是利用集合运算，得出不等式，从而得解，属于基础题．　3．（5分）（2022•汕头一模）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（　　）　A．15109719B．C．D．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的方法和步骤，我们可将960人分为32组，每组30个人，则由此可计算出做问卷AB的组数和做问卷C的组数，即相应的人数．解答：解：用系统抽样方法从960人中抽取32人可将960人分为32组，每组30个人由于分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，故编号为[1，750]中共有750÷30=25组即做问卷C的有32﹣25=7组故做问卷C的人数为7人故选D点评：本题考查的知识点是系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的方法和步骤是解答的关键．　4．（5分）（2022•浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（　　）　A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：证明题；综合题．分析：首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．解答：解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，∴曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0由此可得，A选项符合题意．故选A点评：本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换公式等知识点，属于基础题．　5．（5分）（2022•汕头一模）执行下面的程序框图，如果输入m=72，n=30，则输出的n是（　　）19　A．12B．6C．3D．0考点：程序框图．专题：计算题．分析：先根据循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后r的值找出规律，从而得出所求．解答：解：如图所示的程序框图是直到型循环结构，输入m=72，n=30，第一次循环：72÷30=2…12，第二次循环：30÷12=2…6，第三次循环：12÷6=2…0，∴n=6．故选B．19点评：本题主要考查了直到形循环结构，注意循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．　6．（5分）（2022•汕头一模）在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，若ak=a1+a2+a3+…+a10，则k=（　　）　A．45B．46C．47D．48考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知ak=a1+a2+a3+…+a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解解答：解：∵ak=a1+a2+a3+…+a10，∴a1+（k﹣1）d=10a1+45d∵a1=0，公差d≠0，∴（k﹣1）d=45d∴k=46故选B点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题　7．（5分）（2022•汕头一模）设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（　　）　A．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α　B．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β　C．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β　当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c19D．考点：平面与平面垂直的判定；四种命题间的逆否关系；命题的真假判断与应用；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题．分析：利用直线与平面垂直的判定定理判断A的逆命题正误；通过平面与平面平行的性质定理判断B的逆命题的正误；利用平面与平面垂直的性质定理判断C的逆命题的正误；利用直线与平面平行的判定定理判断命题D的逆命题的正误；解答：解：对于A，当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α的逆命题为：当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥α，则c⊥a，c⊥b，由直线与平面垂直的性质定理可知逆命题正确；对于B，当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β的逆命题为：当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若α∥β，则a∥β，b∥β，有直线与平面平行的性质定理可知逆命题正确；对于C，当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然不正确，可能b与β不垂直，所以逆命题不正确；对于D，当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c的逆命题为：当b⊂α时，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α；满足直线与平面平行的判定定理，正确；故选C．点评：本题考查直线与平面的位置关系，直线与平面直线与垂直的判定定理与性质定理的应用，考查逻辑推理能力．　8．（5分）（2022•汕头一模）给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色（红、黄、绿、兰），要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法（　　）　A．6种B．12种C．24种D．48种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：方案型；探究型．分析：用四种不同的颜色给正方体的六个面涂色，相邻的两个面涂不同颜色，且涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法，则该问题实质为从四种不同颜色中任选两种颜色把这两种花颜色涂在正方体的两对对面上，有几种选法的问题．解答：解：由于涂色过程中，要保证满足用四种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，只需从四种颜色中选择2种涂在其中两对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可．因此共有=6种不同的涂法．故选A．点评：本题考查了排列，组合和简单的计数问题，解答该题的关键是对题目中注明的涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法的理解，这样使看似复杂的问题变为简单的选色（即组合）问题，属中档题．　19二、填空题：（30分）9．（5分）（2022•汕头一模）函数y=lnx在点A（1，0）处的切线方程为　y=x﹣1　．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．解答：解：∵y=lnx，∴y′=∴函数y=lnx在x=1处的切线斜率为1又∵切点坐标为（1，0）切线方程为y=x﹣1．故答案为：y=x﹣1．点评：本题主要考查了函数导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．　10．（5分）（2022•汕头一模）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是　[﹣，6]　．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x﹣y的取值范围．解答：解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x﹣y，直线4x﹣y+1=0与x+2y﹣2=0交于点A（0，1），直线2x+y﹣4=0与x+2y﹣2=0交于点B（2，0），直线4x﹣y+1=0与2x+y﹣4=0交于点C（，3），分析可知z在点C处取得最小值，zmin=3×﹣1=﹣，z在点B处取得最大值，zmax=3×2﹣0=6，∴﹣≤z≤6，故答案为[﹣，6]；点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，此题是一道中档题，有一定的难度，画图是关键；19　11．（5分）（2022•汕头一模）若曲线与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2．则正实数a=　　．考点：定积分．专题：计算题．分析：由积分的几何意义可得，，利用积分基本定理求解后可求a解答：解：由积分的几何意义可得，==∴a=故答案为：点评：本题主要考查了积分的几何意义及积分基本定理的简单应用，属于基础试题　12．（5分）（2022•汕头一模）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为　　．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，Q和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．解答：解：∵y2=4x∴p=2，焦点坐标为（1，0）依题意可知当P，Q和焦点三点共线且点P在中间的时候，距离之和最小如图，故P的纵坐标为﹣1，然后代入抛物线方程求得x=，故答案为：（，﹣1）．点评：本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．　1913．（5分）（2022•汕头一模）已知在三角形ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=θ，若D为BC的三等分点〔靠近点B一侧）．则的取值范围为　（﹣，）　．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则和数量积运算即可得出．解答：解：∵===，∴==+==．∵﹣1＜cosθ＜1，∴．∴．故答案为．点评：熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键．　14．（5分）（2022•汕头一模）已知直线l方程是（t为参数），以坐标原点为极点．x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2，则圆C上的点到直线l的距离最小值是　2﹣2　．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：把直线的参数方程化为普通方程，再把圆C的极坐标方程化为普通方程，求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离．解答：解：直线l的参数方程为（参数t∈R），消去t的普通方程为x﹣y﹣4=0，∵圆C的极坐标方程为ρ=2∴圆C的普通方程为x2+y2=4，圆心（0，0），半径为2，则圆心C到直线l的距离为d==2，圆C上的点到直线l的距离最小值是d﹣r=2﹣2．故答案为：2﹣2．点评：本题以曲线参数方程、极坐标方程出发，考查了参数方程、极坐标方程、普通方程间的互化，直线和圆的位置关系．19　15．（2022•汕头一模）如图，半径是的ΘO中，AB是直径，MN是过点A的圆O的切线，AC，BD相交于点P，且∠DAN=30°，CP×PA=12，又PD＞PB，则线段PD的长为　4　．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据AB是直径得∠ADB=90°，由弦切角定理，得到∠B=∠DAN=30°，从而在Rt△ABD中算出BD=AB=7，设PD=x，根据相交弦定理建立关于x的方程，解之即可得到线段PD的长．解答：解：∵MN切圆O于A，∴∠B=∠DAN=30°，∵AB是直径，可得∠ADB=90°，∴AD=AB=，且BD=AD=7又∵圆O中，PB×PD=CP×PA=12∴设PD=x，可得x（7﹣x）=12，解之得x=3或4∵PD＞PB，∴PD=4（﹣3舍去）故答案为：4点评：本题给出圆的直径和垂直于该直径的切线，在弦AC、BD相交的情况下求分出的线段PD之长，着重考查了弦切角定理、直径所对的圆周角和解直角三角形等知识，属于中档题．　三、解答题（满分80分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）（2022•汕头一模）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．（I）求角A的大小；（II）若且△ABC的面积为，求b十c的值．考点：余弦定理；二倍角的正弦．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由，结合向量平行的坐标表示可得关于A的三角关系式，然后利用二倍角公式对已知式子进行化简可求tanA，进而可求A（2）由三角形的面积公式S=可求bc，然后由余弦定理可得，可求b+c19解答：解：（1）∵∴…（2分）∴…（4分）∴又A∈（0，π）∴…（6分）（2）∵…（8分）∴bc=6…（9分）由余弦定理得：…（10分）⇒（b+c）2=7+3bc=25…（11分）∴b+c=5…（12分）点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示的应用、二倍角公式及同角基本关系的应用，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用．　17．（12分）（2022•汕头一模）广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享．现随机抽取50位市民，对他们的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表：幸福级别非常幸福幸福不知道不幸福幸福指数（分）9060300人数（个）192173（I）求这50位市民幸福指数的数学期望（即平均值）；（11）以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数．求ξ的分布列；（III）从这50位市民中，先随机选一个人．记他的幸福指数为m，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为n，求n＜m+60的概率P．考点：离散型随机变量及其分布列；离散对数在加密和数字签名中的应用．专题：概率与统计．分析：（I）由数学期望（即平均值）的定义，结合图表可得答案；（II）可得ξ的可能取值为0、1、2、3，分别求其概率，即可得其分布列；（III）方法一，求对立事件n≥m+60的概率，进而由P=1﹣P1可得答案，方法二，直接列举出符合n＜m+60的情况，由古典概型的公式可得答案．解答：解：（Ⅰ）记Ex表示这50位市民幸福指数的数学期望，∴．…（1分）（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3…（2分）…（3分）19…（4分）…（5分）…（6分）∴ξ分布列为ξ0123P…（7分）（Ⅲ）方法一：设所有满足条件的对立事件n≥m+60的概率为P1①满足m=0且n=60的事件数为：…（8分）②满足m=0且n=90的事件数为：…（9分）③满足m=30且n=90的事件数为：…（10分）∴…（11分）所以满足条件n＜m+60的事件的概率为．…（12分）方法二：基本事件的总数为满足条件n＜m+60的有如下各种情况：①满足m=0时，n=0，30的事件数为：…（8分）②满足m=30时，n=0，30，60的事件数为：…（9分）③满足m=60时，n=0，30，60，90的事件数为：…（10分）④满足m=90时，n=0，30，60，90的事件数为：…（11分）所以…（12分）点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．　18．（14分）（2022•汕头一模）在三棱锥P﹣ABC中．侧梭长均为4．底边AC=4．AB=2，BC=2，D．E分别为PC．BC的中点．〔I）求证：平面PAC⊥平面ABC．（II）求三棱锥P﹣ABC的体积；19（III）求二面角C﹣AD﹣E的余弦值．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用等腰三角形的性质即可得到OP⊥AC，再利用勾股定理的逆定理即可得到OP⊥OB，利用线面垂直的判定定理即可证明；（II）由（I）可知OP⊥平面ABC，故OP为三棱锥P﹣ABC的高，且OP=，直角三角形ABC的面积S=，再利用即可得出．（III）方法一：过点E作EH⊥AC于H，过点H作HM⊥AD于M，连接ME，由平面PAC⊥平面ABC，EH⊥AC，EH⊂平面ABC，可得EH⊥平面PAC，于是ME⊥AD（三垂线定理），可得∠EMH即为所求的二面角的平面角．利用直角三角形的边角关系求出即可．方法二：以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量即可得到二面角．解答：证明：（Ⅰ）∵PA=PB=PC=AC=4，取AC的中点O，连接OP，OB，可得：OP⊥AC，，∵，∴AC2=AB2+BC2，∴△ABC为Rt△．∴OB=OC=2，PB2=OB2+OP2，∴OP⊥OB．又∵AC∩BO=O且AC、OB⊂面ABC，∴OP⊥平面ABC，又∵OP⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．）（Ⅱ）由（I）可知：OP⊥平面ABC，∴OP为三棱锥P﹣ABC的高，且OP=．直角三角形ABC的面积S=．∴VP﹣ABC==．（Ⅲ）方法一：过点E作EH⊥AC于H，过点H作HM⊥AD于M，连接ME，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，EH⊥AC，EH⊂平面ABC，∴EH⊥平面PAC，∴ME⊥AD（三垂线定理），∴∠EMH即为所求的二面角的平面角．∵E，D分别为中点，EH⊥AC，∴在RT△HEC中：，，19∴在RT△HMA中，．在RT△HME中，．所以．方法二：以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，O（0，0，0），A（0，﹣2，0），，C（0，2，0），，，，∴，，设平面AED的一个法向量为，平面ACD的一个法向量为，则，得，令x=1，则，．∴，设所求的二面角为θ，显然θ为锐角，===．19点评：熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、三棱锥的体积计算公式、利用三垂线定理和二面角的定义求得二面角的平面角、通过空间直角坐标系利用两个平面的法向量得到二面角等是解题的关键．　19．（14分）（2022•汕头一模）如图．已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率，F1为椭圆的左焦点且=1．（I）求椭圆的标准方程；（II）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ．连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）写出A，B，F1的坐标，进而得到，的坐标，代入=1并化简得b2=1，由，得，解出得a2，从而得椭圆方程；（II）可根据圆心O到直线QN的距离d与圆的半径的大小关系判断：设P（x0，y0），则Q（x0，2y0）（x0≠±2），由点斜式写出直线AQ方程，与直线BM方程联立可得M坐标，进而得N点坐标，由点斜式可得直线QN方程，根据点到直线距离公式可得圆心O到直线QN的距离，与半径a比较即可，注意点P坐标满足椭圆方程；解答：解：（Ⅰ）易知A（﹣a，0），B（a，0），F1（﹣c，0），19∴，∴a2﹣c2=b2=1，又，∴，解得a2=4，∴；（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（x0，2y0）（x0≠±2），∴，所以直线AQ方程，∴，则，∴，又点P的坐标满足椭圆方程，则，所以，∴，∴直线QN的方程：，化简整理得到：，即x0x+2y0y=4，所以点O到直线QN的距离，故直线QN与AB为直径的圆O相切．点评：本题考查直线、椭圆方程及其位置关系，考查学生的运算能力，本题中动点较多，设点坐标时应尽量减少未知量的个数．　1920．（14分）（2022•汕头一模）数列{an}的前n项和为Sn，（I）设bn=an+n，证明：数列{bn}是等比数列；（II）求数列{nbn}的前n项和Tn；（III）若cn=﹣an，P=，求不超过P的最大整数的值．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由，令n=1可求a1，n≥2时，利用an=sn﹣sn﹣1可得an与an﹣1之间的递推关系，构造等可证等比数列（Ⅱ）由（Ⅰ）可求nbn，利用错位相减法可求数列的和（Ⅲ）由（Ⅰ）可求，进而可求cn，代入P中利用裂项求和即可求解解答：解：（Ⅰ）因为当n=1时，2a1=﹣1，则a1=﹣，…．（1分）当n≥2时，，…．（2分）所以2an﹣an﹣1=﹣n﹣1，即2（an+n）=an﹣1+n﹣1，所以，而b1=a1+1=，…．（3分）所以数{bn}是首项为，公比为的等比数列，所以．…．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以①②…．（6分）②﹣①得：…．（7分）…（8分）19（Ⅲ）由（Ⅰ）知∴cn=n…（9分）而====，…（11分）所以，故不超过P的最大整数为2022．…..（14分）点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，数列的错位相减求和及裂项求和方法的综合应用　21．（14分）（2022•汕头一模）已知函数．（I）若f（x）=f1（x）+f2（x）﹣bf2（﹣x），是否存在a，b∈R，y=f（x）为偶函数．如果存在．请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；〔II）若a=2，b=1．求函数g（x）=f1（x）+f2（x）在R上的单调区间；（III）对于给定的实数∃x0∈[0，1]，对∀x∈[0，1]，有|f1（x）﹣f2（x0）|＜1成立．求a的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）存在a=0，b=﹣1使y=f（x）为偶函数．再根据偶函数的定义进行证明即可；（Ⅱ）先利用绝对值的意义将g（x）写成分段函数的形式g（x）=，再对x进行分类讨论：①当x≥2时；②当x＜2时；利用导数工具研究其单调性即得；（Ⅲ）由于|f1（x）﹣f2（x0）|＜1，从而f2（x0）﹣1＜f1（x）＜f2（x0）+1，∃x0∈[0，1]对∀x∈[0，1]，f2（x0）﹣1＜f1（x）＜f2（x0）+1成立．等价于：．再对字母b分类讨论：①当b≥0时，②当b＜0时．即可求得a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）存在a=0，b=﹣1使y=f（x）为偶函数，…（2分）证明如下：此时：f（x）=e|x|+e﹣x+ex，x∈R∴f（﹣x）=e|﹣x|+ex+e﹣x=f（x），∴y=f（x）为偶函数．…（4分）（注：a=0，b=0）也可以）（Ⅱ）∵g（x）=e|x﹣2|+ex=，…（5分）19①当x≥2时g（x）=ex﹣2+ex，∴g′（x）=ex﹣2+ex＞0，∴y=g（x）在[2，+∞）上为增函数．…（6分）②当x＜2时g（x）=e2﹣x+ex，则g′（x）=﹣e2﹣x+ex，令g′（x）=0得到x=1，（ⅰ）当x＜1时g′（x）＜0，∴y=g（x）在（﹣∞，1）上为减函数．（ⅱ）当1≤x＜2时g′（x）＞0，∴y=g（x）在（1，2）上为增函数．…（8分）综上所述：y=g（x）的增区间为[1，+∞），减区间为（﹣∞，1）．…（9分）（Ⅲ）∵|f1（x）﹣f2（x0）|＜1，∴f2（x0）﹣1＜f1（x）＜f2（x0）+1∴∃x0∈[0，1]对∀x∈[0，1]，f2（x0）﹣1＜f1（x）＜f2（x0）+1成立．即：…（10分）①当b≥0时，f2（x）为增函数或常数函数，∴当x∈[0，1]时，∵，∴f2（x）min﹣1=f2（0）﹣1=0＜f1（x）min恒成立．，，∴eb+1＞e1﹣a∴a＞1﹣ln（eb+1）∵∴∴∴eb+1＞ea∴a＜ln（eb+1）∵∴综上所述：a∈（1﹣ln（eb+1），ln（eb+1））…（12分）②当b＜0时，f2（x）在[0，1]上为减函数，∴∵19∴f2（x）min﹣1＜f1（x）min恒成立．∴∴a＞1﹣ln2∴，，．∴2＞ea∴a＜ln2∴综上所述：∴a∈（1﹣ln2，ln2）…（13分）由①②得当b≥0时，a∈（1﹣ln（eb+1），ln（eb+1））；当b＜0时，a∈（1﹣ln2，ln2）．…（14分）点评：本小题主要考查函数的单调性、奇偶性与单调性的综合等基本知识，考查分类讨论、化归以等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．19