广东省揭阳市2022届高三数学第二次模拟试题 理（含解析）新人教A版

2022年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2022•揭阳二模）已知全集U=R，，则∁UA=（　　）　A．[0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0]考点：其他不等式的解法；补集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：求函数的定义域求得A，再利用补集的定义求得则∁UA．解答：解：集合A即函数y=的定义域，由2x﹣1≥0，求得x≥0，A=[0，+∞），故∁UA=（﹣∞，0），故选B．点评：本题主要考查对数不等式的解法，求集合的补集，属于基础题．　2．（5分）（2022•揭阳二模）若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（　　）　A．B．C．D．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先进行复数的乘法运算，根据复数相等的充要条件，得到复数的实部和虚部分别相等，得到a，b的值，求出复数的模长．解答：解：∵（1+2ai）i=1﹣bi，∴i﹣2a=1﹣bi∴﹣2a=1，b=﹣1∴a=﹣，b=﹣1∴|a+bi|=故选C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算和复数的求模，本题解题的关键是求出复数中的字母系数，本题是一个基础题．　3．（5分）（2022•揭阳二模）已知点A（﹣1，5）和向量=（2，3），若，则点B的坐标为（　　）　A．（7，4）B．（7，14）C．（5，4）D．（5，14）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），求得x、y的值，即可求得点B的坐标．解答：解：设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），15故有，解得，故选D．点评：本题主要考查两个向量的坐标形式的运算，属于基础题．　4．（5分）（2022•揭阳二模）在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，若am=a1+a2+…+a9，则m的值为（　　）　A．37B．36C．20D．19考点：数列的求和；等差数列．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式可得am=0+（m﹣1）d，利用等差数列前9项和的性质可得a1+a2+…+a9=9a5=36d，二式相等即可求得m的值．解答：解：∵{an}为等差数列，首项a1=0，am=a1+a2+…+a9，∴0+（m﹣1）d=9a5=36d，又公差d≠0，∴m=37，故选A．点评：本题考查等差数列的通项公式与求和，考查等差数列性质的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．　5．（5分）（2022•揭阳二模）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（　　）　A．7B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图复原的几何体，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：依题意可知该几何体的直观图如图示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：，故选D．15点评：本题考查几何体与三视图的关系，考查空间想象能力与计算能力．　6．（5分）（2022•揭阳二模）已知函数，则y=f（x）的图象大致为（　　）　A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．解答：解：令g（x）=x﹣ln（x+1），则，由g'（x）＞0，得x＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得﹣1＜x＜0，即函数g（x）在（﹣1，0）上单调递减，所以当x=0时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（﹣1，0）上单调递减，则函数f（x）在（﹣1，0）上递增，故排除C，故选A．点评：本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．　7．（5分）（2022•揭阳二模）某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为（　　）　A．18B．24C．30D．36考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：间接法：先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数共有•种，去掉甲乙被分在同一所学校的情况共有种即可．解答：解：先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全拍列共有•种，再排除甲乙被分在同一所学校的情况共有种，15所以不同的安排方法种数是•﹣=36﹣6=30故选C．点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，属中档题．　8．（5分）（2022•揭阳二模）设f（x）是定义在（0，1）上的函数，对任意的y＞x＞1都有，记，则=（　　）　A．B．C．D．考点：数列的求和；抽象函数及其应用．专题：等差数列与等比数列．分析：依题意，可求得an=f（）﹣f（），利用累加法即可求得故ai=f（）﹣f（），逆用已知条件即可得到答案．解答：解：因an=f（）=f（）=f（）﹣f（），故ai=a1+a2+…+a8=f（）﹣f（）+f（）﹣f（）+…+f（）﹣f（）=f（）﹣f（）=f（）=f（），故选C．点评：本题考查抽象函数及其应用，求得an=f（）﹣f（）是关键，也是难点，考查观察与推理能力，属于中档题．　二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）（2022•揭阳二模）若点（a，﹣1）在函数的图象上，则的值为　　．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：将x=a，y=﹣1代入函数解析式中求出a的值，将a的值代入所求式子中计算即可求出值．解答：解：将x=a，y=﹣1代入函数解析式得：﹣1=，15解得：a=3，则tan=tan=tan（π+）=tan=．故答案为：点评：此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：对数的运算性质，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．　10．（5分）（2022•河东区二模）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是　4x﹣3y﹣20=0　．考点：双曲线的简单性质．专题：函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线方程，可得右焦点的坐标为F（5，0），且经过一、三象限的渐近线斜率为k=．由平行直线的斜率相等，可得所求的直线方程的点斜式，再化成一般式即可．解答：解：∵双曲线的方程为∴a2=9，b2=16，得c==5因此，该双曲线右焦点的坐标为F（5，0）∵双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线经过一、三象限的渐近线斜率为k=∴经过双曲线右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是y=（x﹣5）化为一般式，得4x﹣3y﹣20=0．故答案为：4x﹣3y﹣20=0点评：本题给出双曲线方程，求经过一个焦点并且平行于渐近线的直线方程，考查了直线的方程、直线的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．　11．（5分）（2022•揭阳二模）某个部件由两个电子元件按图（2）方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为　　．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．15分析：先根据正态分布的意义，两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为p=，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”，利用其对立事件求其概率即可．解答：解：两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502），得：两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为p=，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为：p1=1﹣（1﹣p）2=．故答案为：．点评：本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题．　12．（5分）（2022•揭阳二模）已知函数f（x）=4|a|x﹣2a+1．若命题：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，则实数a的取值范围为　　．考点：特称命题；命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是单调函数，在（0，1）上存在零点，应有f（0）f（1）＜0，解不等式求出数a的取值范围．解答：解：由：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，得：f（0）•f（1）＜0⇒（1﹣2a）（4|a|﹣2a+1）＜0或⇒．故答案为：点评：本题考查函数的单调性、单调区间，及函数存在零点的条件．　13．（5分）（2022•揭阳二模）已知点P（x，y）满足，则点Q（x+y，y）构成的图形的面积为　2　．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：设点Q（u，v），则x+y=u，y=v，可得，点Q的可行域为平行四边形OMN及其内部区域，数形结合求得点Q（u，v）构成的区域的面积．解答：解：令x+y=u，y=v，则点Q（u，v）满足，在平面内画出点Q（u，v）所构成的平面区域如图，它是一个平行四边形，一边长为1，高为2，15故其面积为2×1=2．故答案为：2．点评：本题考查线性规划，可行域不是的图形的面积的求法，正确画出可行域是解题的关键，考查计算能力、作图能力．　（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（2022•揭阳二模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线l过圆C：的圆心C，且与直线OC垂直，则直线l的极坐标方程为　ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或　．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先求已知圆的圆心的极坐标，再根据直线l过圆C：的圆心C且与直线OC垂直，即可求得直线l的极坐标方程．解答：解：把化为直角坐标系的方程为x2+y2=2x+2y，圆心C的坐标为（1，1），与直线OC垂直的直线方程为x+y﹣2=0，化为极坐标系的方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．点评：本题重点考查曲线的极坐标方程，考查极坐标与直角坐标之间的互化，属于基础题．　15．（2022•揭阳二模）如图所示，C，D是半圆周上的两个三等分点，直径AB=4，CE⊥AB，垂足为E，BD与CE相交于点F，则BF的长为　　．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用圆的性质、含30°角的直角三角形的性质即可得出．解答：解：∵C，D是半圆周上的两个三等分点，∴∠DBA=30°，连接AD，则∠ADB=90°，∴AD=2，15过点D作DG⊥AB于G，在Rt△ADG中，∠ADG=30°，∴AG==1．则AG=BE=1，∴=．故答案为．点评：熟练掌握圆的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．　三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2022•北京）已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且，求f（α）的值．考点：三角函数的定义域；弦切互化．分析：（1）由cosx≠0得出x取值范围得出答案．（2）通过tanα=﹣，求出sina=﹣，cosa=，代入函数式．解答：（1）解：∵依题意，有cosx≠0∴解得x≠kp+，∴f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠kp+，k∈Z}（2）解：∵=﹣2sinx+2cosx∴f（α）=﹣2sina+2cosa∵α是第四象限的角，且∴sina=﹣，cosa=∴f（α）=﹣2sina+2cosa=点评：本题主要考查三角函数的定义域的问题．属基础题．　17．（12分）（2022•揭阳二模）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．15（1）在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次（每次一件），求恰有两次抽到二等品的概率；（2）在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）设随机变量ξ表示“3次抽取抽到次品的件数”，则ξ～B，利用二项分布即可得出；（2）利用超几何分布即可得到概率．进而得到分布列和数学期望．解答：解：（1）设A表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为，故．（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==．ξ的分布列为ξ0123P数学期望为Eξ=1×+2×+3×=1.2．点评：熟练掌握二项分布、超几何分布及分布列和数学期望是解题的关键．　18．（14分）（2022•揭阳二模）数列{an}中，a1=3，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）求{an}的通项公式；（3）求最小的自然数n，使an≥2022．考点：数列递推式；等比数列的通项公式；等比关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）表示出a2，a3，由a1，a2，a3成等比数列可得关于c的方程，解出即得c值，注意检验；（2）利用累加法可求得an，注意检验n=1时是否满足；（3）代入通项公式可把an≥2022变为关于n的不等式，解出n的范围，然后检验取其最小值即可；解答：解：（1）a1=3，a2=3+c，a3=3+3c，∵a1，a2，a3成等比数列，∴（3+c）2=3（3+3c），解得c=0或c=3．当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=3．15（2）当n≥2时，由a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，…an﹣an﹣1=（n﹣1）c，得．又a1=3，c=3，∴．当n=1时，上式也成立，∴．（3）由an≥2022得，即n2﹣n﹣1340≥0，∵n∈N*，∴，令n=37，得a37=2022＜2022，令n=38得a38=2112＞2022，∴使an≥2022成立的最小自然数n=38．点评：本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题．　19．（14分）（2022•揭阳二模）在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A﹣EF﹣C，如图（2）所示，其中（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF﹣ADE的体积；（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；（3）当θ=900且．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用已知条件即可得到EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．再利用三棱柱的体积计算公式即可得出；（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连接M1N1，可证明四边形MNN1M1为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；证法二：点M作MG⊥EF交EF于G，可证平面MNG∥平面BCF，利用面面平行的性质定理即可证明；（3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，得∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，利用余弦定理求出即可；证法二：建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出．解答：解：（1）依题意得EF⊥DE，EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．15由θ=45°得，，∴．（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连接M1N1，∵MM1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1又∵，∴MM1=NN1∴四边形MNN1M1为平行四边形，∴MN∥N1M1，又MN⊄面BCF，N1M1⊂面BCF，∴MN∥面BCF．证法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连接NG，则，∴NG∥CF．又NG⊄面BCF，CF⊂面BCF，∴NG∥面BCF，同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF，∵MN⊂平面MNG，∴MN∥面BCF．（3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，∴∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，∵θ=900且．∴，∴，﹣﹣﹣﹣∴．即MN与AC所成角的余弦值为．证法二：∵θ=900且．分别以FE、FB、FC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．，∴，所以与AC所成角的余弦值为．15点评：熟练掌握线面垂直的判定定理、三棱柱的体积计算公式、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理、异面直线所成的角的定义、余弦定理、通过建立空间直角坐标系利用两条异面直线的方向向量的夹角求得异面直线的夹角．　20．（14分）（2022•揭阳二模）如图已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．（1）求圆M和抛物线C的方程；（2）设G，H是抛物线C上异于原点O的两个不同点，且，求△GOH面积的最小值；（3）在抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k（x﹣1）（k≠0）对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；抛物线的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由|AO|=2，=OAcos60°可求得p，从而可求得抛物线C的方程；继而可求得圆M的半径r，从而可求其方程；（2）设G（x1，y1），H（x2，y2），由•=0得x1x2+y1y2=0，由=4x1，=4x2，可求得x1x2=16，利用三角形的面积公式，结合基本不等式即可求得△GOH面积的最小值；（3）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x0，y0），利用P（x3，y315），Q（x4，y4）在抛物线C上，=4x3，=4x4，两式相减可求得y0=﹣2k，最后利用D（x0，y0）在m：y=k（x﹣1）（k≠0）上即可知点D（x0，y0）在抛物线外，从而可得答案．解答：解：（1）∵，即p=2，∴所求抛物线的方程为y2=4x﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴设圆的半径为r，则，∴圆的方程为（x﹣2）2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设G（x1，y1），H（x2，y2），由•=0得x1x2+y1y2=0，∵=4x1，=4x2，∴x1x2=16，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵=，∴=•=（+）（+）=，=[+4x1x2（x1+x2）+16x1x2]≥[+4x1x2•2+16x1x2]=256∴≥16，当且仅当x1=x2=2时取等号，∴△GOH面积最小值为16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x0，y0）∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在抛物线C上，∴=4x3，=4x4，两式相减得：（y3﹣y4）（y3+y4）=4（x3﹣x4）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴y3+y4=4•==﹣4k，∴y0=﹣2k∵D（x0，y0）在m：y=k（x﹣1）（k≠0）上∴x0=﹣1＜0，点D（x0，y0）在抛物线外﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴在抛物线C上不存在两点P，Q关于直线m对称．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查圆的标准方程与抛物线的标准方程，考查基本不等式及点差法，突出抽象思维能力与运算能力的考查，属于难题．15　21．（14分）（2022•揭阳二模）设函数在上的最大值为an（n=1，2，…）．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对任意n∈N*（n≥2），都有成立．考点：数列与函数的综合；数列的函数特性．专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列．分析：（1）解法一：通过函数的导数，判断函数的单调性，求出最大值即可求a1，a2的值；解法二：利用函数的导数，求出函数的最值，推出a1，a2的值．（2）利用（1）解法求出n≥3时函数的最大值，即可求数列{an}的通项公式；（3）利用分析法以及二项式定理直接证明：对任意n∈N*（n≥2），都有成立．解答：解：（1）解法1：∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）当n=1时，f1'（x）=（1﹣x）（1﹣3x）当时，f1'（x）≤0，即函数f1（x）在上单调递减，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）当n=2时，f2'（x）=2x（1﹣x）（1﹣2x）当时，f2'（x）≤0，即函数f2（x）在上单调递减，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）【解法2：当n=1时，，则当时，f1'（x）≤0，即函数f1（x）在上单调递减，∴，当n=2时，，则=2x（1﹣x）（1﹣2x）当时，f2'（x）≤0，即函数f2（x）在上单调递减，∴】15（2）令fn'（x）=0得x=1或，∵当n≥3时，且当时fn'（x）＞0，当时fn'（x）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）故fn（x）在处取得最大值，即当n≥3时，=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当n=2时（*）仍然成立，综上得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）当n≥2时，要证，只需证明，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∵∴对任意n∈N*（n≥2），都有成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查数列与函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，数列通项公式的求法，二项式定理的应用，考查计算能力转化思想的应用．15