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安徽省芜湖市一中2022届高三数学第二次模拟试题 理(含解析)新人教A版
安徽省芜湖市一中2022届高三数学第二次模拟试题 理(含解析)新人教A版
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2022学年安徽省芜湖市一中高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)(2022•芜湖二模)已知复数z=x+yi(x,y∈R),且有,是z的共轭复数,那么的值为( ) A.B.C.D.考点:复数代数形式的乘除运算.3930094专题:计算题.分析:先由求出实数x、y的值,得到复数z,则可求,然后运用复数的除法运算可求得的值.解答:解:因为∴x+xi=2+2yi∴x=2y=2,∴x=2,y=1,∴z=2+i∴∴.故选B.点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了两个复数相等的条件,复数相等当且仅当实部等于实部,虚部等于虚部,复数的除法采用分子分母同乘以分母的共轭复数,是基础题. 2.(5分)(2022•芜湖二模)若随机变量x~N(1,4),P(x≤0)=m,则P(0<x<2)=( ) A.1﹣2mB.C.D.1﹣m考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.3930094专题:计算题.分析:19根据随机变量x~N(1,4),得到正态曲线的对称轴是x=1,得到P(x≤0)=P(x≥2),根据所给的条件P(x≤0)=m,得到P(x≥2)=m,又根据概率之和是1,得到要求的结果.解答:解:∵随机变量x~N(1,4),∴正态曲线的对称轴是x=1,∴P(x≤0)=P(x≥2)∵P(x≤0)=m,∴P(0<x<2)=1﹣m﹣m=1﹣2m,故选A.点评:本题考查正态分布的特点,是一个基础题,解题时注意正态曲线的对称性和概率之和等于1的性质,是一个送分的题目. 3.(5分)(2022•芜湖二模)二项式展开式中含有x2项,则n可能的取值是( ) A.4B.5C.6D.8考点:二项式系数的性质.3930094专题:计算题.分析:先求二项式展开式的通项,整理后让x的指数等于2,求出r和n的关系,再把答案代入验证即可.解答:解:因为二项式展开式的通项为:Cnr•=(﹣1)r•Cnr•.令﹣n=2⇒5r=2n+4⇒r=所以2n+4需是5的倍数.满足条件的数在答案中只有8.故选:D.点评:本题主要考查二项式定理的应用.解决本题的关键是利用其x的指数等于2,求出r和n的关系.因为问的是n可能的取值,所以下面只需要把答案代入验证即可解决问题. 4.(5分)(2022•芜湖二模)已知函数f(x)=4﹣x2,g(x)是定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,g(x)=log2x,则函数y=f(x)•g(x)的大致图象为( ) A.B.C.D.19考点:函数的图象;函数奇偶性的性质.3930094专题:压轴题;数形结合.分析:由已知中函数f(x)=4﹣x2,当x>0时,g(x)=log2x,我们易判断出函数在区间(0,+∞)上的形状,再根据函数奇偶性的性质,我们根据“奇×偶=奇”,可以判断出函数y=f(x)•g(x)的奇偶性,进而根据奇函数图象的特点得到答案.解答:解:∵函数f(x)=4﹣x2,是定义在R上偶函数g(x)是定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,故函数y=f(x)•g(x)为奇函数,共图象关于原点对称,故A,C不正确又∵函数f(x)=4﹣x2,当x>0时,g(x)=log2x,故当0<x<1时,y=f(x)•g(x)<0;当1<x<2时,y=f(x)•g(x)>0;当x>2时,y=f(x)•g(x)<0;故D不正确故选B点评:本题考查的知识点是函数的图象和函数奇偶性质的性质,在判断函数的图象时,分析函数的单调性,奇偶性,特殊点是最常用的方法. 5.(5分)(2022•芜湖二模)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积(单位:cm3)为( ) A.π+B.2C.2πD.考点:由三视图还原实物图;组合几何体的面积、体积问题.3930094专题:计算题;数形结合法.分析:由三视图可以看出,该几何体下部是一个圆柱,上部是一三棱锥,圆柱半径为1高也是1,三棱锥底面是一等腰直角三角形,过斜边的侧面与多方面垂直且该侧面是一等边三角形,边长是2,由于该几何体是一组合体故其体积为圆柱的体积与棱锥体积的和.解答:解:由三视图,该组合体上部是一三棱锥,下部是一圆柱由图中数据知V圆柱=π×12×1=π三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形,且边长是2,故其高即为三棱锥的高,高为故棱锥高为由于棱锥底面为一等腰直角三角形,且斜边长为2,故两直角边长度都是底面三角形的面积是=1故=19故该几何体的体积是π+故选A.点评:本题考点是由三视图还原实物图,考查由在视图给出几何体的度量,由公式求体积,本题是三视图考查中常出现的题型,关键是正确地还原出几何体的特征. 6.(5分)(2022•芜湖二模)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2﹣x)=f(x),且在[﹣3,﹣2]上是减函数,α,β是钝角三角形的两个锐角,则下列结论正确的是( ) A.f(sinα)>f(cosβ)B.f(cosα)<f(cosβ)C.f(cosα)>f(cosβ)D.f(sinα)<f(cosβ)考点:偶函数;函数单调性的性质.3930094专题:综合题.分析:由α,β是钝角三角形的两个锐角可得0°<α+β<90°即0°<α<90°﹣β,从而有0<sinα<sin(90°﹣β)=cosβ<1由f(x)满足f(2﹣x)=f(x)函数为偶函数即f(﹣x)=f(x)可得f(2﹣x)=f(x),即函数的周期为2,因为函数在在[﹣3,﹣2]上是减函数,则根据偶函数的性质可得在[2,3]单调递增,根据周期性可知在0,1]单调递增,从而可判断解答:解:∵α,β是钝角三角形的两个锐角可得0°<α+β<90°即0°<α<90°﹣β∴0<sinα<sin(90°﹣β)=cosβ<1∵f(x)满足f(2﹣x)=f(x),∴函数关于x=1对称∵函数为偶函数即f(﹣x)=f(x)∴f(2﹣x)=f(x),即函数的周期为2∴函数在在[﹣3,﹣2]上是减函数,则根据偶函数的性质可得在[2,3]单调递增,根据周期性可知在0,1]单调递增∴f(sinα)<f(cosβ)故选D点评:本题主要考查了函数的奇偶性、单调性等综合应用,解决的关键一是由f(2﹣x)=f(x),偶函数满足的f(﹣x)=f(x)可得函数的周期,关键二是要熟练掌握偶函数对称区间上的单调性相反的性质,关键三是要α,β是钝角三角形的两个锐角可得0°<α+β<90°即0°<α<90°﹣β.本题是综合性较好的试题. 7.(5分)(2022•芜湖二模)在等差数列{an}中,a1=1,a6=2a3+1,对任意的n,设,则满足S2k+1>35的最小正整数K的取值等于( ) A.16B.17C.18D.19考点:数列的求和.3930094专题:计算题;等差数列与等比数列.分析:由a6=2a3+1,知a1=1,d=2,an=2n﹣1,故Sn=1﹣3+5﹣7+…+(﹣1)n﹣1•(2n﹣1),由此能够求出满足S2k+1>35的最小正整数K的取值.解答:解:∵等差数列{an}中,a1=1,a6=2a3+1,19∴,解得a1=1,d=2,∴an=2n﹣1,∴Sn=1﹣3+5﹣7+…+(﹣1)n﹣1•(2n﹣1),∴=﹣2k+[2•(2k+1)﹣1]=﹣2k+4k+1=2k+1>35,∴2k>34,∴k>17,∴最小正整数K值为18,故选C.点评:本题考查数列的前n项和公式的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用. 8.(5分)(2022•芜湖二模)直线(t为参数)被曲线所截的弦长为( ) A.B.C.D.考点:点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程.3930094专题:直线与圆.分析:先把参数方程和极坐标方程化为普通方程,并求出圆心到直线的距离d,再利用关系:l=2即可求出弦长l.解答:解:直线(t为参数)化为普通方程:直线3x+4y+1=0.∵曲线,展开为ρ=cosθ﹣sinθ,∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ,化为普通方程为x2+y2=x﹣y,即,∴圆心C,.19圆心C到直线距离d==,∴直线被圆所截的弦长=.故选C.点评:正确运用弦长l、圆心到直线的距离、半径r三者的关系:l=2是解题的关键. 9.(5分)(2022•芜湖二模)设长方形ABCD边长分别是AD=1,AB=2(如图所示),点P在△BCD内部和边界上运动,设(α,β都是实数),则α+2β的取值范围是( ) A.[1,2]B.[1,3]C.[2,3]D.[0,2]考点:简单线性规划的应用.3930094专题:计算题.分析:根据已知构造出阴影部分中的点满足的约束条件,进而根据点P在△BCD内部和边界上运动,设,找出x,y与α,β的关系,将可行域中各角点坐标代入比照后,求出目标函数的最值,即可得到答案.解答:解:∵长方形ABCD边长分别是AD=1,AB=2阴影部分内的点满足设P(x,y),则即:x=2α,y=β因此19当x=2,y=0,即α=1,β=0时,α+2β=1;当x=2,y=1,即α=1,β=1时,α+2β=3;当x=0,y=1,即α=0,β=1时,α+2β=2;α+2β∈[1,3]故选B点评:本题考查的知识点是简单线性规划的应用,其中根据已知构造出满足条件的约束条件是解答本题的关键. 10.(5分)(2022•芜湖二模)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两个端点异色,若只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有( ) A.240种B.300种C.360种D.420种考点:排列、组合及简单计数问题.3930094专题:计算题.分析:首先给顶点P选色,有5种结果,再给A选色有4种结果,再给B选色有3种结果,最后分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论,根据分步计数原理和分类计数原理得到结果.解答:解:四棱锥为P﹣ABCD.下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论,(1)各个点的不同的染色方法P:C51,A:C41,B:C31,C与B同色:1,D:C31,故共有•C41•C31•C31种.(2)各个点的不同的染色方法P:C51,A:C41,B:C31,C与B不同色C21,D:C21,故共有•C41•C31•C21•C21种由分步计数原理可得不同的染色方法总数有•C41•C31•C31+•C41•C31•C21•C21=420.故选D.点评:本题主要排列与组合及两个基本原理,总结此类问题的做法,对于复杂一点的计数问题,有时分类以后,每类方法并不都是一步完成的,必须在分类后又分步,综合利用两个原理解决,属于中档题. 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.(5分)(2022•芜湖二模)P为抛物线y2=4x上一动点,则点P到y轴距离和到点A(2,3)距离之和的最小值等于 .考点:抛物线的简单性质.3930094专题:计算题.分析:先求出抛物线的准线方程,焦点坐标,由于A在抛物线的外部,所以连接焦点F和点A,AF与抛物线的交点P,即为所求点,利用抛物线的定义可求点P到y轴距离和到点A(2,3)距离之和的最小值.解答:解:y2=4x的准线是x=﹣1.抛物线的焦点坐标为(1,0)由于A在抛物线的外部,所以连接焦点F和点A,AF与抛物线的交点P,即为所求点,∵P到x=﹣1的距离等于P到焦点F的距离,19∴点P到y轴距离和到点A(2,3)距离之和为P到焦点F的距离和到点A(2,3)距离之和减1,∴当且仅当A,P,F三点共线时,点P到y轴距离和到点A(2,3)距离之和最小∴点P到y轴距离和到点A(2,3)距离之和的最小值为|AF|﹣1=故答案为:点评:本题以抛物线的标准方程为载体,考查抛物线的定义,考查距离和,解题的关键是利用抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离. 12.(5分)(2022•芜湖二模)= 3 .考点:定积分.3930094专题:计算题.分析:将(0,2)区间分为(0,1)和(1,2),分别化简2﹣|1﹣x|,转化成=∫01(1+x)dx+∫12(3﹣x)dx,求解即可.解答:解:=∫01(1+x)dx+∫12(3﹣x)dx=(x+x2)|01+(3x﹣)|12=(1+﹣0)+(6﹣2﹣3+)=3故答案为:3点评:本题主要考查了定积分、定积分的应用、导数等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题. 13.(5分)(2022•安徽)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值x= 12 .19考点:设计程序框图解决实际问题.3930094专题:压轴题.分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是判断x的奇偶性,并执行对应的操作,最后不满足循环条件时,退出循环,输出X,我们可以模拟程序的运行过程,分析程序运行中各变量的值的变化情况,不难得到答案.解答:解:程序运行如下:循环前:x=1,第一次循环:x=2,第二次循环:x=4,第三次循环:x=5,第四次循环:x=6,第五次循环:x=8,第六次循环:x=9,第七次循环:x=10,第八次循环:x=12,(不满足继续循环的条件退出循环)最后输出12.故答案为:12点评:根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是::①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模. 14.(5分)(2022•无为县模拟)已知命题,命题q:x2+2x+1﹣m≤0(m>0)若非p是非q的必要不充分条件,那么实数m的取值范围是 [4,+∞) .考点:命题的真假判断与应用.393009419专题:计算题;不等式的解法及应用.分析:先求出非p、非q为真时,m的范围,再利用非p是非q的必要不充分条件,可求实数m的取值范围.解答:解:由题意,,∴或x≥1;q:x2+2x+1﹣m≤0(m>0),∴¬q:x2+2x+1﹣m>0,∴(x+1)2>m,解得或∵¬p是¬g的必要不充分条件,∴,∴m≥4.故实数m的取值范围是[4,+∞)故答案为:[4,+∞)点评:本题考查不等式的求解,考查四种条件,解题的关键是求出非p、非q为真时,m的范围. 15.(5分)(2022•芜湖二模)已知,,函数,那么下列四个命题中正确命题的序号是 ②③④ .①f(x)是周期函数,其最小正周期为2π.②当时,f(x)有最小值.③[﹣π,﹣π]是函数f(x)的一个单调递增区间;④点(﹣,2)是函数f(x)的一个对称中心.考点:命题的真假判断与应用.3930094专题:探究型;三角函数的图像与性质.分析:先化简函数,再一一验证,①f(x)是周期函数,其最小正周期为π;②当时,,所以,可得f(x)有最小值;③x∈[﹣π,﹣π]时,,可得[﹣π,﹣π]是函数f(x)的一个单调递增区间;④利用(﹣,0)是函数g(x)=的一个对称中心,可得结论.解答:解:由题意,=,∴①f(x)是周期函数,其最小正周期为π,故①错;19②当时,,∴,∴f(x)有最小值,故②正确;③x∈[﹣π,﹣π]时,,∴[﹣π,﹣π]是函数f(x)的一个单调递增区间,故③正确;④∵(﹣,0)是函数g(x)=的一个对称中心,∴点(﹣,2)是函数f(x)的一个对称中心,故④正确故答案为:②③④点评:本题考查向量知识的运用,考查三角函数的化简,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(12分)(2022•芜湖二模)解不等式.考点:对数函数图象与性质的综合应用;其他不等式的解法.3930094专题:计算题.分析:原不等式等价于,由此得到,或logax>1后再根据a>1和0<a<1两种情况分别求出原不等式的解集.解答:解:原不等式等价于由①得,由②得,或logax>1,由③得.由此得,或logax>1.当a>1时得所求的解是;当0<a<1时得所求的解是.点评:19本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识,考查分类讨论的思想. 17.(13分)(2022•芜湖二模)某品牌的汽车4S店,对最近100位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如右表所示:已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销一辆该品牌的汽车,顾客分1期付款,其利润为1万元;分2期或3期付款其利润为1.5万元;分4期或5期付款,其利润为2万元.用η表示经销一辆汽车的利润.(1)求上表中的a,b值;(2)若以频率作为概率,求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有1位采用3期付款”的概率P(A);(3)求η的分布列及数学期望Eη.考点:离散型随机变量的期望与方差.3930094专题:计算题;应用题;综合题.分析:(1)根据分3期付款的频率为0.2,得到a除以100值为0.2,求出a的值,根据总体数是100,求出b的值.(2)记分期付款的期数为ξ,则ξ的可能取值是1,2,3,4,5,结合变量对应的事件写出变量的概率,根据独立重复试验的概率公式得到购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款的概率.(3)η表示经销一辆汽车的利润,η的可能取值为:1,1.5,2,结合变量对应的事件,根据η和ξ之间的关系,写出变量的概率,得到分布列.解答:解:(1)由得a=20∵40+20+a+10+b=100∴b=10(2)记分期付款的期数为ξ,则ξ的可能取值是1,2,3,4,5,依题意得:,,P(ξ=3)=0.2,,则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率P(A)=0.83+C310.2×(1﹣0.2)2=0.896(3)∵η的可能取值为:1,1.5,2(单位万元)P(η=1)=P(ξ=1)=0.4P(η=1.5)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.4P(η=2)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.219∴η的分布列为:∴η的数学期望Eη=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4(万元)点评:本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查独立重复试验,考查两个变量之间的概率关系,是一个综合题目,这种题目近几年考得比较多. 18.(12分)(2022•芜湖二模)如图,四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形,侧面SAB是等边三角形,DA⊥面SAB,DC∥AB,AB=2AD=2DC,O,E分别为AB、SD中点.(1)求证:SO∥面AEC,BC⊥面AEC(2)求二面角O﹣SD﹣B的余弦值.考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.3930094专题:空间角.分析:(1)设DO,AC交于点F,连接EF,易判断AOCD为正方形,进而AC与BC垂直平分,结合已知及三角形中位线定理可得EF∥OS,进而由线面平行的判定定理得到SO∥面AEC;根据已知可先证得SO⊥面ABCD,进而得到SO⊥BC,而由BC与OD平行与AC垂直,结合线面垂直的判定定理可得BC⊥面AEC(2)分别以OS,OB,OC为x轴,Y轴,z轴点的空间直角坐标系,设AB=2,分别求出二面角O﹣SD﹣B的两个半平面的法向量,代入向量夹角公式,可得答案.解答:证明:(1)设DO,AC交于点F,连接EF,∵直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,故四边形AOCD为正方形,则F为DO中点∵E为DS的中点∴在△DOS中EF∥OS又∵EF⊂面AEC,OS⊄面AEC∴SO∥面AEC…(3分)∵DA⊥面SAB,SO⊂面SAB∴DA⊥SO,又∵侧面SAB是等边三角形,O为AB的中点,∴AB⊥SO,∵AB∩DA=A∴SO⊥面ABCD又∵BC⊂面ABCD∴SO⊥BC,EF⊥BC又BC∥DO19∴BC⊥AC,∵EF∩AC=F∴BC⊥面AEC…(6分)(2)分别以OS,OB,OC为x轴,Y轴,z轴点的空间直角坐标系,设AB=2,显然AC⊥面SOD,∴面SOD的法向量设面SBD的法向量为由,求得:是面SBD的一个法向量,∴cosθ===故所求二面角的余弦值为…(12分)点评:本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,二面角的平面角,(1)的关键是熟练掌握空间线面关系的判定定理及性质定理,能熟练的进行转化,(2)的关键是构造空间坐标系,将二面角转化为向量夹角. 19.(12分)(2022•芜湖二模)已知函数(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间.(2)若不等式对任意的x∈R恒成立,求a的取值范围.考点:利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题.3930094专题:导数的综合应用.分析:(1)当a=2时,根据函数解析式,求出函数的导函数,分析导函数的符号,进而判断出函数f(x)的单调区间.(2)令f'(x)=0,根据导函数零点,分段讨论函数的单调性和最值,进而根据不等式对任意的x∈R恒成立,不大于函数的最小值,构造关于a的方程解答:解:(1)当a=2时,f'(x)=e2x•(2x2﹣2)=2e2x•(x+1)(x﹣1)∵x∈(﹣1,1)时,f'(x)<0,x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)时,f'(x)>0,∴减区间为(﹣1,1),增区间为(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)…(5分)(2)f'(x)=eax•(ax+2)(x﹣1)令f'(x)=0,则或x=119∵a>0列表x()(,1)1(1,+∞)f'x+0﹣0+f(x)极大值极小值∴当x=1时,f(x)有最小值∴依题意即可∴ea≤3⇒a≤ln3解得0<a≤ln3…(12分)点评:本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性及函数的最值,函数恒成立问题,这导数应用的经典题型 20.(13分)(2022•芜湖二模)如图,直角坐标系XOY中,点F在x轴正半轴上,△OFG的面积为S.且,设,.(1)以O为中心,F为焦点的椭圆E经过点G,求点G的纵坐标.(2)在(1)的条件下,当取最小值时,求椭圆E的标准方程.(3)在(2)的条件下,设点A、B分别为椭圆E的左、右顶点,点C是椭圆的下顶点,点P在椭圆E上(与点A、B均不重合),点D在直线PA上,若直线PB的方程为,且,试求CD直线方程.考点:椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系.3930094专题:计算题;向量与圆锥曲线.分析:(1)设G(x0,y0),利用△OFG的面积S=c•|y0|=c即可求得点G的纵坐标;(2)利用•=c(x0﹣c)=1,可求得x0=c+,从而可求得||=(c≥2),构造函数f(c)=c+,利用其单调性质可求得当c=2时f(c)有最小值,从而可求得G点坐标;19(3)由(2)知:A(﹣,0),B(,0),C(0,﹣),由设P(x1,y1),可求得kAP•kBP=﹣,继而可求得kAP=﹣,再由•=0可求得kCD=5,从而可求得直线CD的方程.解答:解:(1)设G(x0,y0)∵S=||•|y0|,∴c=c•|y0|,|y0|=,∵=(c,0),=(x0﹣c,y0)(y0>0),∴y0=…(3分)(2)由(1)知•=c(x0﹣c)=1,∴x0=c+∴||==(c≥2)∵f(c)=c+在[2,+∞]上递增,∴当c=2时f(c)有最小值2+=,此时x0=,y0=,∴G(,),由于点G在椭圆E上,且c=2∴可求得a2=10,b2=6方程为:+=1…(8分)(3)由(2)知:A(﹣,0),B(,0),C(0,﹣),∵直线BP:y=kx﹣3经过点B,∴求得k=3又设P(x1,y1)则=(10﹣),∴kAP•kBP=×===﹣=﹣,∴kAP=﹣×=﹣•=﹣•=﹣,19∵•=0,∴kAP•kCD=﹣1,∴﹣•kCD=﹣1,∴kCD=5.又CD直线过点C(0,)故:所求CD方程为:y=5x﹣…(13分)点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆锥曲线的关系的综合应用,考查双钩函数的单调性与最值,考查综合分析与应用的能力,属于难题. 21.(13分)(2022•芜湖二模)已知函数,an+1=f(an),对于任意的n∈N*,都有an+1<an.(Ⅰ)求a1的取值范围;(Ⅱ)若a1=,证明an<1+(n∈N+,n≥2).(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下证明﹣n<+1.考点:数列与函数的综合;数列与不等式的综合.3930094专题:计算题;证明题;综合题;压轴题.分析:(Ⅰ)根据函数f(x)的表达式,结合an+1=f(an),解不等式an+1﹣an<0,再结合an是正数,可得对任意n∈N+,都有a1>1.(II)先用导数进行研究,可得函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数.再利用数学归纳的方法,可以证明出an<1+(n∈N+,n≥2).(III)由an+1=f(an)=,解出,再变形得到,结合0<an+1<an得到,最后利用g(x)=在(1,+∞)是增函数,通过放缩得到,再以此为依据,进行累加可得原不等式成立.19解答:解:(Ⅰ)∵∴<0∴∵an是正数,∴an>1对任意n∈N+恒成立,因此a1>1.(II)∵∴当x>1时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数下面用数学归纳法,证明an<1+(n∈N+,n≥2).①当n=2时,由a1=,得②设当n=k时,ak<1+成立则当n=k+1时,ak+1=f(an)<f(1+)=(1++)=(1++1﹣)<(2+)=1+,不等式也成立综合①②可得,对任意的n∈N+,n≥2),均有an<1+成立.(III)⇒⇒⇒设g(x)=,则g(x)在(1,+∞)是增函数∴又∵19∴=即对任意的n∈N+,n≥2,均有﹣n<+1成立.点评:本题综合考查了函数的单调性、函数与方程、数列的递推关系、等比数列的求和公式和运用放缩法证明不等式等知识点,属于难题.19
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