江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷

2022-2022学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷　一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．tan=　　．2．2lg2+lg25的值等于　　．3．若幂函数f（x）=xa的图象过点（4，2），则f（9）=　　．4．已知角α的终边经过点P（2，m）（m＞0），且cosα=，则m=　　．5．在用二分法求方程x3﹣2x﹣1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为　　．6．某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为　　cm2．7．若a+b=3，则代数式a3+b3+9ab的值为　　．8．已知a=log0.65，b=2，c=sin1，将a，b，c按从小到大的顺序用不等号“＜”连接为　　．9．将正弦曲线y=sinx上所有的点向右平移π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式y=　　．10．已知函数f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=（）x，则f（）=　　．11．已知f（x）=在[2，+∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围为　　．12．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边CD的中点，=，若•=﹣4，则sin∠BAD=　　．18/1913．已知f（x）=，若对任意θ∈[0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）+＞0恒成立，整数λ的最小值为　　．14．已知函数f（x）=ln（a﹣）（a∈R）．若关于x的方程ln[（4﹣a）x+2a﹣5]﹣f（x）=0的解集中恰好有一个元素，则实数a的取值范围为　　．　二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知全集U=R，集合A={x|2≤x＜7}，B={x|0＜log3x＜2}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求A∪B，（∁UA）∩B；（2）如果A∩C=∅，求实数a的取值范围．16．（14分）已知：θ为第一象限角，=（sin（θ﹣π），1），=（sin（﹣θ），﹣），（1）若∥，求的值；（2）若|+|=1，求sinθ+cosθ的值．17．（14分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有经验公式P=m+65，Q=76+4，今将150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元．（1）设对乙产品投入资金x万元，求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；（2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？18．（16分）已知函数y=sin（ωx+）（ω＞0）．（1）若ω=，求函数的单调增区间和对称中心；（2）函数的图象上有如图所示的A，B，C三点，且满足AB⊥BC．①求ω的值；18/19②求函数在x∈[0，2）上的最大值，并求此时x的值．19．（16分）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）证明：函数f（x）为奇函数；（2）判断并证明函数f（x）的单调性，再根据结论确定f（m2﹣m+1）+f（﹣）与0的大小关系；（3）是否存在实数k，使得函数f（x）在定义域[a，b]上的值域为[kea，keb]．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（16分）设函数f（x）=|ax﹣x2|+2a（a，b∈R）．（1）当a=﹣2，b=﹣时，解方程f（2x）=0；（2）当b=0时，若不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a为常数，且函数f（x）在区间[0，2]上存在零点，求实数b的取值范围．　18/192022-2022学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析　一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．tan=　　．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简求值即可．【解答】解：tan=tan（）=tan=．故答案为：．【点评】本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值的求法．　2．2lg2+lg25的值等于　2　．【考点】对数的运算性质．【分析】由对数的运算性质对所给的对数式lg25+2lg2进行化简求值．【解答】解：lg25+2lg2=2lg5+2lg2=2（lg5+lg2）=2故答案为：2．【点评】本题考查对数的运算性质，解题的关键是熟练掌握对数的运算性质，并能用运算性质进行化简运算．　3．若幂函数f（x）=xa的图象过点（4，2），则f（9）=　3　．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】求出幂函数的解析式，从而求出f（9）的值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=xa的图象经过点（4，2），∴4a=2；解得a=．18/19故f（x）=，则f（9）=3，故答案为：3．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．　4．已知角α的终边经过点P（2，m）（m＞0），且cosα=，则m=　1　．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得m的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P（2，m）（m＞0），且cosα==，则m=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．　5．在用二分法求方程x3﹣2x﹣1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为　（，2）　．【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由题意构造函数f（x）=x3﹣2x﹣1，求方程x3﹣2x﹣1=0的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，因此把x=1，2，，代入函数解析式，分析函数值的符号是否异号即可．【解答】解：令f（x）=x3﹣2x﹣1，则f（1）=﹣2＜0，f（2）=3＞0，f（）=﹣＜0，由f（）f（2）＜0知根所在区间为（，2）．故答案为：（，2）．【点评】此题是个基础题．考查二分法求方程的近似解，以及方程的根与函数的零点之间的关系，体现了转化的思想，同时也考查了学生分析解决问题的能力．　18/196．某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为　1　cm2．【考点】扇形面积公式．【分析】g根据扇形的周长求出半径r，再根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：设该扇形的半径为r，根据题意，有l=αr+2r4=2r+2rr=1S扇形=αr2=×2×12=1．故答案为：1．【点评】本题考查了弧度制下扇形的面积及弧长公式的运用问题，是基础题目．　7．若a+b=3，则代数式a3+b3+9ab的值为　27　．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】a3+b3+9ab=（a+b）（a2+b2﹣ab）+9ab=3（a2+b2﹣ab）+9ab=3[（a+b）2﹣3ab]+9ab，由此能求出结果．【解答】解：∵a+b=3，∴代数式a3+b3+9ab=（a+b）（a2+b2﹣ab）+9ab=3（a2+b2﹣ab）+9ab=3[（a+b）2﹣3ab]+9ab=3（9﹣3ab）+9ab=27．故答案为：27．【点评】本题考查代数式求和，是基础题，解题时要认真审题，注意立方和公式和完全平方和公式的合理运用．　8．已知a=log0.65，b=2，c=sin1，将a，b，c按从小到大的顺序用不等号“＜”连接为　a＜c＜b　．【考点】对数值大小的比较．18/19【分析】利用对数函数、指数函数、正弦函数的单调性求解．【解答】解：∵a=log0.65＜log0.61=0，b=2＞20=1，0＜c=sin1＜1，∴a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．【点评】本题考查三个数的大小的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数、正弦函数的单调性的合理运用．　9．将正弦曲线y=sinx上所有的点向右平移π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式y=　　．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的倍时，x的系数变为原来的3倍进行横向变换．从而可得函数解析式．【解答】解：由题意，将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动π个单位长度，利用左加右减，可所函数图象的解析式为y=sin（x﹣π），再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），利用x的系数变为原来的3倍进行横向变换，可得图象的函数解析式是．故答案为：．【点评】本题的考点是利用图象变换得函数解析式，主要考查三角函数的平移变换，周期变换．关键是利用平移的原则是左加右减、上加下减．　10．已知函数f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当x∈18/19（0，1）时，f（x）=（）x，则f（）=　　．【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】由已知可得函数的周期为4，结合当x∈（0，1）时，f（x）=（）x，可得答案．【解答】解：∵当x∈（0，1）时，f（x）=（）x，∴f（）=f（﹣）=，又∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），f（）=f（﹣）=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数求值，函数的周期性，函数的奇偶性，转化思想，难度中档．　11．已知f（x）=在[2，+∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围为　[，+∞）　．【考点】函数单调性的性质．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：f（x）==ax++1，函数的导数f′（x）=a﹣，∵f（x）在[2，+∞）上是单调增函数，∴f′（x）=a﹣≥0在[2，+∞）上恒成立，即a≥，∵≤，∴a≥，18/19即实数a的取值范围是[，+∞），故答案为：[，+∞）【点评】本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数利用函数单调性和导数之间的关系进行转化是解决本题的关键．　12．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边CD的中点，=，若•=﹣4，则sin∠BAD=　　．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式即可求出cos∠BAD，再根据同角的三角函数的关系即可求出sin∠BAD．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边CD的中点，=，∴=+=+，=﹣=﹣，∴•=（+）•（﹣）=﹣﹣•=﹣﹣||•||cos∠BAD=6﹣8﹣8cos∠BAD=﹣4，∴cos∠BAD=，∴sin∠BAD=，故答案为：【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，属于中档题．　13．已知f（x）=，若对任意θ∈[0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣18/19）+＞0恒成立，整数λ的最小值为　1　．【考点】分段函数的应用．【分析】令f（x），解得：x，若对任意θ∈[0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）+＞0恒成立，则对任意θ∈[0，]，cos2θ+λsinθ﹣恒成立，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=，令f（x），解得：x，若对任意θ∈[0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）+＞0恒成立，则对任意θ∈[0，]，cos2θ+λsinθ﹣恒成立，即1﹣sin2θ+λsinθ﹣恒成立，当θ=0时，不等式恒成立，当θ≠0时，1﹣sin2θ+λsinθ﹣可化为：λ＞=sinθ﹣，当θ=时，sinθ﹣取最大值，故λ＞，故整数λ的最小值为1，故答案为：1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数恒成立问题，函数的最值，难度中档．　14．已知函数f（x）=ln（a﹣）（a∈R）．若关于x的方程ln[（4﹣a）x+2a﹣5]﹣f（x）=0的解集中恰好有一个元素，则实数a的取值范围为　（1，2]∪{3，4}　．【考点】函数零点的判定定理．18/19【分析】根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．【解答】解：由ln[（4﹣a）x+2a﹣5]﹣f（x）=0，得ln[（4﹣a）x+2a﹣5]=ln（a﹣），即a﹣=（4﹣a）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2﹣（a﹣5）x﹣1=0，即（x﹣1）[（a﹣4）x+1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=1，代入①，成立；当a=3时，方程②的解为x=1，代入①，成立；当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=1或x=﹣，若x=1是方程①的解，则a﹣=a﹣1＞0，即a＞1，若x=﹣是方程①的解，则a﹣=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，关于x的方程ln[（4﹣a）x+2a﹣5]﹣f（x）=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4，故答案为：（1，2]∪{3，4}．【点评】本题考查对数的运算性质，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，属中档题．　二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2022秋•扬州期末）已知全集U=R，集合A={x|2≤x＜7}，B={x|0＜log3x＜2}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求A∪B，（∁UA）∩B；（2）如果A∩C=∅，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）分别求出集合A，集合B，从而求出A∪B，∁RA，B∩（∁RA）；（2）通过C是非空集合，A∩C=∅，而a+1≤2或a≥7，从而求出a的范围．18/19【解答】解：（1）由0＜log3x＜2，得1＜x＜9∴B=（1，9），∵A={x|2≤x＜7}=[2，7），∴A∪B=（1，9）∁UA=（﹣∞，2）∪[7，+∞），∴（∁UA）∩B=（1，2）∪[7，9）（2）C={x|a＜x＜a+1}=（a，a+1）∵A∩C=∅，∴a+1≤2或a≥7，解得：a≤1或a≥7【点评】本题考查了对数函数的单调性的运用以及集合的运算，关键是正确化简集合，然后由进行集合的运算，属于基础题．　16．（14分）（2022秋•扬州期末）已知：θ为第一象限角，=（sin（θ﹣π），1），=（sin（﹣θ），﹣），（1）若∥，求的值；（2）若|+|=1，求sinθ+cosθ的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）利用向量共线定理可得sinθ=cosθ，解得tanθ．再利用弦化切即可得解．（2）利用平面向量的坐标运算可求2sinθcosθ=，进而计算得解sinθ+cosθ的值．【解答】解：（1）∵=（sin（θ﹣π），1），=（sin（﹣θ），﹣），∥，∴﹣sin（θ﹣π）=sin（﹣θ），可得：sinθ=cosθ又∵θ为第一象限角，可得：tanθ=2，∴==5．（2）∵|+|=1，+=（cosθ﹣sinθ，），18/19∴（cosθ﹣sinθ）2+（）2=1，解得：2sinθcosθ=，∴sinθ+cosθ==．【点评】本题主要考查了平面向量共线定理，平面向量的坐标运算，同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．　17．（14分）（2022秋•扬州期末）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有经验公式P=m+65，Q=76+4，今将150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元．（1）设对乙产品投入资金x万元，求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；（2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据题意，对乙种商品投资x（万元），对甲种商品投资（150﹣x）（万元），利用经验公式，可求经营甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；（2）利用配方法，可求总利润y的最大值．【解答】解：（1）根据题意，对乙种商品投资x（万元），对甲种商品投资（150﹣x）（万元）（25≤x≤125）．所以y=（150﹣x）+76+4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣其定义域为[25，125]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）令t=，因为x∈[25，125]，所以t∈[5，5]，有y=﹣+138﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）所以当t=6时，即x=36时，ymax=138﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）答：当甲商品投入114万元，乙商品投入36万元时，总利润最大为138万元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）18/19【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，正确建立函数解析式是关键．　18．（16分）（2022秋•扬州期末）已知函数y=sin（ωx+）（ω＞0）．（1）若ω=，求函数的单调增区间和对称中心；（2）函数的图象上有如图所示的A，B，C三点，且满足AB⊥BC．①求ω的值；②求函数在x∈[0，2）上的最大值，并求此时x的值．【考点】三角函数的最值；正弦函数的单调性．【分析】（1）ω=时求出函数y的单调增区间和对称中心；（2）①由图知B是函数图象的最高点，设出点B的坐标和最小正周期，表示出点A、C的坐标，利用坐标表示向量、，根据数量积求出T、ω的值；②由x的取值范围求出函数y的最大值，计算对应的x值．【解答】解：（1）ω=时，函数y=sin（x+），令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，解得：﹣3+8k≤x≤1+8k，k∈Z，∴函数y的单调增区间为[﹣3+8k，1+8k]，（k∈Z）；…令x+=kπ，k∈Z，解得x=﹣1+4k，k∈Z，∴函数y的对称中心为（﹣1+4k，0），（k∈Z）；…（8分）（2）①由图知：点B是函数图象的最高点，设B（xB，），18/19设函数最小正周期为T，则A（xB﹣，0），C（xB+，0）；∴=（，），=（，﹣），…（10分）由⊥，得•=T2﹣3=0，解得：T=4，∴ω==；…（12分）②由x∈[0，2]得x+∈[，]，∴sin（x+）∈[﹣，1]，∴函数y在[0，2]上的最大值为，…（14分）此时x+=+2kπ，k∈Z，则x=4k，k∈Z；又x∈[0，2]，∴x=．…（16分）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合以及平面向量的应用问题，是综合性题目．　19．（16分）（2022秋•扬州期末）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）证明：函数f（x）为奇函数；（2）判断并证明函数f（x）的单调性，再根据结论确定f（m2﹣m+1）+f（﹣）与0的大小关系；（3）是否存在实数k，使得函数f（x）在定义域[a，b]上的值域为[kea，keb]．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】（1）根据奇函数的定义，可判断函数f（x）为奇函数；18/19（2）f（x）=在R上为增函数，利用导数法可证明结论，进而判断出f（m2﹣m+1）+f（﹣）≥0；（3）若函数f（x）在定义域[a，b]上的值域为[kea，keb]．则=kex在R上有两个不等实根，进而得到实数k的取值范围．【解答】解：（1）证明：函数f（x）定义域为R，…（1分）对于任意的x∈R，都有f（﹣x）===﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数…（2）f（x）=在R上为增函数，理由如下：∵f′（x）=＞0恒成立，∴f（x）=在R上为增函数，…（7分）∵∴f（m2﹣m+1）≥f（﹣）=﹣f（），∴f（m2﹣m+1）+f（﹣）≥0…（10分）（3）∵f（x）为R上的增函数且函数f（x）在定义域[a，b]上的值域为[kea，keb]．∴k＞0且，=kex在R上有两个不等实根；…（12分）令t=ex，t＞0且单调增，问题即为方程kt2+（k﹣1）t+1=0在（0，+∞）上有两个不等实根，设h（t）=kt2+（k﹣1）t+1，18/19则，解得：0＜k＜3﹣2…（16分）【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，函数的定义域值域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．　20．（16分）（2022秋•扬州期末）设函数f（x）=|ax﹣x2|+2a（a，b∈R）．（1）当a=﹣2，b=﹣时，解方程f（2x）=0；（2）当b=0时，若不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a为常数，且函数f（x）在区间[0，2]上存在零点，求实数b的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）解：（1）原方程即为：|2x（2x+2）|=15，解得2x即可，（2）不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，及（f（x）﹣2x）max≤在x∈[0，2]上恒成立即可‘（3）函数f（x）在[0，2]上存在零点，即方程x|a﹣x|=﹣2b在[0，2]上有解，分类求出设h（x）=的值域即可．【解答】解：（1）当a=﹣2，b=﹣时，f（x）=|x2+2x|﹣15，所以方程即为：|2x（2x+2）|=15解得：2x=3或2x=﹣5（舍），所以x=；…（2）当b=0时，若不等式：x|a﹣x|≤2x在x∈[0，2]上恒成立；当x=0时，不等式恒成立，则a∈R；…当0＜x≤2时，则|a﹣x|≤2，在[0，22]上恒成立，即﹣2≤x﹣a≤2在（0，2]上恒成立，18/19因为y=x﹣a在（0，2]上单调增，ymax=2﹣a，ymin=﹣a，则，解得：0≤a≤2；则实数a的取值范围为[0.2]；…（8分）（3）函数f（x）在[0，2]上存在零点，即方程x|a﹣x|=﹣2b在[0，2]上有解；设h（x）=当a≤0时，则h（x）=x2﹣ax，x∈[0，2]，且h（x）在[0，2]上单调增，所以h（x）min=h（0）=0，h（x）max=h（2）=4﹣2a，则当0≤﹣2b≤4﹣2a时，原方程有解，则a﹣2≤b≤0；…（10分）当a＞0时，h（x）=，h（x）在[0，]上单调增，在[]上单调减，在[a，+∞）上单调增；①当，即a≥4时，h（x）min=h（0）=0，h（x）max=h（2）=4﹣2a，则当则当0≤﹣2b≤2a﹣4时，原方程有解，则2﹣a≤b≤0；②当，即2≤a＜4时，h（x）min=h（0）=0，h（x）max=h（）=，则当0≤﹣2b≤时，原方程有解，则﹣；③当0＜a＜2时，h（x）min=h（0）=0，h（x）max=max{h（2），h（）=max{4﹣2a，}当，即当﹣4+4≤a＜2时，h（x）max=，则当0≤﹣2b≤时，原方程有解，则；当，即则0时，h（x）max=4﹣2a，则当0≤﹣2b≤4﹣2a时，原方程有解，则a﹣2≤b≤0；…（14分）综上，当0＜a＜﹣4+4时，实数b的取值范围为[a﹣2，0]；当﹣4+4≤a＜4时，实数b的取值范围为[]；当a≥4时，实数b的取值范围为[2﹣a，0]；18/19【点评】本题考查了分段函数的值域问题，及分类讨论思想，属于中档题．　18/19