2020-2021学年江苏省扬州市仪征市某校高一（上）期中考试数学试卷 (1)

2020-2021学年江苏省扬州市仪征市某校高一（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.函数䁢㌳䁢的定义域是()A.㌳䁢ͳ）B.䁢ͳ）C.㌳䁢ͳ䁢D.䁢ͳ2.已知集合ᙫͳሻ൅，集合ᙫͳሻ㌳െ，则是ᙫሻA.䁞，㌳䁢B.ᙫ䁞ͳ㌳䁢ሻC.䁞ͳ㌳䁢D.ᙫ䁞ͳ㌳䁢ሻ3.已知全集，集合㌳䁢或‴െሻ，㌳൅䁞ሻ，则阴影部分表示的集合为()A.㌳൅െB.䁞或െC.㌳൅一䁢D.㌳䁢䁞4.൅世纪䁞年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级．其计算公式是lg㌳lg，其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅．级地震给人的震感已经比较明显，级地震的最大振幅是级地震最大振幅的()A.൅倍B.lg൅倍C.䁢倍D.䁢倍䁢5.已知偶函数ᙫሻ在区间ͳሻ上单调递增，则满足ᙫ൅㌳䁢ሻᙫሻ的的取值൅范围是()䁞䁢䁞A.ᙫ㌳ͳሻB.ᙫͳሻെെെ䁢䁞䁞C.ᙫ㌳ͳሻᙫͳሻD.ͳሻെെെ6.从这个商标中抽象画出一个函数图像如图所示，其对应的函数可能是()䁢䁢䁢䁢A.B.C.D.൅㌳䁢൅䁢㌳䁢㌳䁢䁢൅7.正数，满足൅，若൅对任意正数，恒成立，则实数试卷第1页，总7页 的取值范围是()A.㌳െͳ൅B.㌳൅ͳെC.㌳ͳ㌳െ൅ͳD.㌳ͳ㌳൅െͳ8.若关于的不等式൅㌳൅൅的解集中恰有䁢个整数，则实数的取值范围是()A.ͳ䁢ሻB.ᙫ䁞ͳെC.ͳ䁢䁞ͳെD.ͳ൅൅ͳെ二、多选题)9.已知集合㌳൅ͳ䁞൅䁞㌳െͳ൅㌳െ，若൅，则满足条件的实数可能为()A.൅B.㌳൅C.㌳䁞D.䁢൅䁢10.已知，条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值可能为()A.㌳䁢B.C.䁢D.൅11.下列说法中正确的有()A.不等式൅恒成立B.不等式൅൅൅恒成立C.若，ͳ，则൅䁢D.存在，使得不等式൅成立12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：㌳䁞׺㌳െ，൅䁢൅׺䁢൅．已知函数㌳，则关于函数的叙述中正确的有䁢൅൅()A.是偶函数B.是奇函数C.的值域是㌳䁢ͳD.是R上的增函数三、填空题)13.已知函数ᙫ൅䁢ሻ൅㌳൅，则ᙫሻ________．14.若命题“，使得൅ᙫ㌳䁢ሻ䁢”是真命题，则实数的取值范围是________．15.已知‴，‴，且൅െ，则的最小值为________.ᙫ㌳ሻ൅，，16.设函数䁢当䁢时，的最小值是_______；若，‴，试卷第2页，总7页 ൅恒成立，则的取值范围是_______．四、解答题)17.在①൅‴൅，②൅൅㌳䁢这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知全集R，൅㌳䁢，且________，求ᙫሻ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.൅䁢䁢䁞㌳൅㌳ᙫ䁢ሻ计算䁞㌳ᙫሻᙫሻെ㌳ᙫ൅㌳䁢ሻ；൅䁢൅൅ᙫ൅ሻ计算൅lglglglg൅ᙫlg൅ሻ．䁞19.已知函数൅.ᙫ䁢ሻ若关于的不等式的解集为䁢൅，求，的值；ᙫ൅ሻ当䁢时，解关于的不等式‴.20.൅൅年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情．接着我们一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减少经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在൅൅年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足െ㌳（为常䁢数），若不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是൅万件．已知生产该产品的固定投入为万元，每生产一万件该产品需要再投入䁢万元，厂家将产品的销售价格定为䁢൅൅െ每件产品元．ᙫ䁢ሻ将൅൅年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；ᙫ൅ሻ该厂家൅൅年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？䁢൅21.定义在㌳䁢ͳ䁢上的函数，满足㌳，且㌳㌳.൅䁢൅ᙫ䁢ሻ求函数的解析式；ᙫ൅ሻ判断函数的单调性，并用定义证明；ᙫ䁞ሻ解关于的不等式൅㌳䁢.22.设ͳR，若函数定义域内的任意一个都满足൅㌳൅，则函数的图象关于点ͳ对称；反之，若函数的图象关于点ͳ对称，则函数㌳൅定义域内的任意一个都满足൅㌳൅．已知函数．൅ᙫ䁢ሻ证明：函数的图象关于点㌳൅ͳ对称．ᙫ൅ሻ已知函数的图象关于点䁢ͳ൅对称，当ͳ䁢时，൅㌳䁢．若对任意的ͳ൅，总存在ͳ൅，使得䁢൅䁢൅成立，求实数的取值范围．试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省扬州市仪征市某校高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1.B2.D3.D4.C5.B6.D7.A8.C二、多选题9.A,C10.A,B,C11.B,C,D12.A,C三、填空题13.䁞14.ᙫ㌳ͳ㌳䁢ሻᙫ䁞ͳሻ15.െ16.䁢,ͳ൅四、解答题䁢17.解：因为൅㌳䁢ሻ㌳ͳ，൅䁢所以ͳ．൅若选择①，൅‴൅ᙫ㌳ͳ㌳൅ሻᙫ䁢ͳሻ，所以䁢ͳ．൅൅൅若选择②，൅㌳䁢㌳ͳͳ，൅൅൅所以ͳ．൅൅൅䁞䁞െ㌳18.解：ᙫ䁢ሻ原式ᙫ൅ሻ䁞㌳െᙫሻെ㌳䁢䁞൅൅䁞䁞െᙫ㌳ሻ൅䁞㌳െᙫሻെ㌳䁢䁞൅䁢െ㌳െ㌳䁢.ᙫ൅ሻ原式൅lg൅lg൅lgᙫlg൅䁢ሻᙫlg൅ሻ൅൅lg൅ᙫlglg൅ሻlg൅lg൅lg൅䁢䁞．19.解：ᙫ䁢ሻ由条件知，关于的方程൅㌳的两个根为䁢和൅，试卷第4页，总7页 ㌳䁢൅ͳ所以䁢൅ͳ൅ͳ解得׺ᙫ൅ሻ当䁢时，൅䁢‴，即䁢‴׺当㌳㌳䁢，即‴䁢时，解得㌳或‴㌳䁢；当㌳㌳䁢，即䁢时，解得㌳䁢；当㌳‴㌳䁢，即䁢时，解得㌳䁢或‴㌳．综上可知，当䁢时，不等式的解集为㌳ͳ㌳䁢㌳ͳ；当䁢时，不等式的解集为㌳ͳ㌳㌳䁢ͳ．20.解：ᙫ䁢ሻ由题意知，当时，൅（万件），൅则൅െ㌳，解得൅，െ㌳．䁢䁢൅൅െ因为每件产品的销售价格为元，䁢൅൅െ所以൅൅年的利润㌳㌳䁢㌳䁢䁞㌳㌳．䁢ᙫ൅ሻ当时，䁢‴，䁢所以䁢൅䁢，当且仅当䁞时等号成立．䁢䁢所以㌳䁞൅，当且仅当䁢，䁢即䁞时，max൅．故该厂家൅൅年的促销费用投入䁞万元时，厂家的利润最大为൅万元．21.解：ᙫ䁢ሻ因为函数满足㌳，所以是定义在㌳䁢ͳ䁢上的奇函数，所以，即．䁢䁢൅㌳൅൅又㌳㌳，所以൅㌳，解得䁢，൅䁢㌳䁢൅㌳所以，满足㌳㌳㌳，൅䁢㌳൅䁢൅䁢所以．൅䁢ᙫ൅ሻ函数在㌳䁢ͳ䁢上为单调递增函数．证明如下：设㌳䁢䁢൅䁢，䁢൅则䁢㌳൅൅㌳൅䁢䁢䁢൅൅䁢㌳൅䁢䁢൅൅䁢䁢㌳൅䁢㌳䁢൅，൅䁢൅䁢൅䁢൅䁢䁢൅䁢൅因为㌳䁢䁢൅䁢，所以䁢㌳൅，䁢㌳䁢൅‴，所以䁢㌳൅，所以䁢൅，所以函数在㌳䁢ͳ䁢上为单调递增函数．ᙫ䁞ሻ由൅㌳䁢，得൅㌳㌳䁢，试卷第5页，总7页 因为为奇函数，所以㌳㌳䁢䁢㌳，所以൅䁢㌳．因为函数在㌳䁢ͳ䁢上为单调递增函数，䁢所以㌳䁢൅䁢㌳䁢，解得．䁞䁢故不等式൅㌳䁢的解集为ͳ．䁞㌳൅22.ᙫ䁢ሻ证明：因为，㌳ͳ㌳൅㌳൅ͳ，൅䁞所以㌳െ㌳，൅㌳൅䁞所以㌳െ㌳䁢，൅൅即对任意的㌳ͳ㌳൅㌳൅ͳ，都有㌳െ㌳䁢成立．所以函数的图象关于点㌳൅ͳ对称．㌳൅㌳൅ᙫ൅ሻ解：因为，易知在ͳ൅上单调递增．൅൅所以在ͳ൅时的值域为㌳䁢ͳെ．记函数ͳͳ൅的值域为．若对任意的䁢ͳ൅，总存在൅ͳ൅，使得䁢൅成立，则㌳䁢ͳെ．因为当ͳ䁢时，൅㌳䁢，所以ᙫ䁢ሻ൅，即函数的图象过对称中心䁢ͳ൅．①当，即时，函数在ͳ䁢上单调递增．൅由对称性知，在䁢ͳ൅上单调递增，所以函数在ͳ൅上单调递增．易知䁢，又൅െ，所以ᙫ൅ሻ䁞㌳，则䁢ͳ䁞㌳．㌳䁢䁢ͳ由㌳䁢ͳെ，得െ䁞㌳ͳ解得㌳䁢．ͳ②当䁢，即൅时，函数ᙫሻ在ͳ上单调递减，在ͳ䁢上单调递൅൅൅增．由对称性知，在䁢ͳ൅㌳上单调递增，在൅㌳ͳ൅上单调递减，൅൅所以函数在ͳ上单调递减，在ͳ൅㌳上单调递增，在൅㌳ͳ൅上单调递减．൅൅൅൅所以结合对称性知，൅ͳ或ᙫሻͳᙫ൅㌳ሻ．൅൅因为൅，故䁢䁢ͳ䁞．又൅െ，故൅䁞㌳䁢ͳ䁞．൅易知㌳䁢䁢ͳ൅．൅െ又൅㌳െ，൅൅所以൅㌳൅ͳ䁞．൅所以当൅时，㌳䁢ͳെ成立．试卷第6页，总7页 ③当䁢，即൅时，函数在ͳ䁢上单调递减．൅由对称性知，在䁢ͳ൅上单调递减，所以函数在ͳ൅上单调递减．易知䁢，又ᙫ൅ሻെ，所以൅䁞㌳，则䁞㌳ͳ䁢．㌳䁢䁞㌳ͳ由㌳䁢ͳെ，得െ䁢ͳ解得൅䁞．൅ͳ综上可知，实数的取值范围为㌳䁢ͳ䁞．试卷第7页，总7页