2020-2021学年湖北省武汉二中广雅中学九年级（上）质量评估数学试卷（二）

2020-2021学年湖北省武汉二中广雅中学九年级（上）质量评估数学试卷（二）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的一次项系数是（　　）A．2B．3C．1D．﹣32．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝0的根是（　　）A．1B．0C．0或1D．0或﹣13．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（　　）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）4．（3分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（　　）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断5．（3分）将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（　　）A．y＝﹣2（x﹣1）2+1B．y＝﹣2（x+1）2﹣5C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣5D．y＝﹣2（x+1）2+16．（3分）二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（　　）A．x＜﹣1B．x＞2C．﹣1＜x＜2D．x＜﹣1或x＞27．（3分）将x2+4x﹣5＝0进行配方变形，下列正确的是（　　）A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝18．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，分支和小分支总数是91，每个支干长出的小分支数目是（　　）A．8B．9C．10D．119．（3分）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n（n为正整数）个图形中共有的点数是（　　）第25页（共25页）\nA．（n+1）2+1B．6n﹣1C．5nD．5n+110．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；③a＜﹣．其中，正确结论的个数是（　　）A．0B．1C．2D．3二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知x＝﹣2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，则m的值是　　．12．（3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，则x1x2＝　　．13．（3分）已知A（﹣4，y1），B（1，y2），C（3，y3）三点都在抛物线y＝2（x﹣1）2上，则y1，y2，y3的大小关系是　　．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△CBE沿CE翻折得到△CFE，连接AF．若∠EAF＝80°，那么∠BCF＝　　度．15．（3分）平行四边形ABCD中，∠B＝45°，AB＝4，E为直线BC上一点，且∠CDE＝15°，则DE的长为　　．16．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤3时，函数的最小值为﹣4，则m的值为　　．三、解答题（共8题，共72分）17．（10分）按要求解下列方程：用配方法解：（1）x2﹣4x﹣1＝0；第25页（共25页）\n用公式法解：（2）3x2﹣5x+1＝0．18．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），B（1，﹣4）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当y＝﹣3时，求自变量x的值．19．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），篱笆长20m．（1）围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形场地的长和宽；（2）可以围成一个面积为60m2的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．21．（8分）（1）完成表格，根据表格中的数据在网格的平面直角坐标系中画出y＝﹣x2﹣x+的图象．x…﹣4﹣3﹣2012…y＝﹣x2﹣x+…　　12.532.5　　　　…（2）将（1）中的图象沿x轴翻折，得到的新抛物线的解析式为　　（直接填写）；（3）若抛物线y＝﹣x2﹣x+的顶点为A，点P（m，﹣5）在这条抛物线第三象限的图象上，直接写出S△AOP＝　　．第25页（共25页）\n22．（10分）某水果零售商店，通过对市场行情的调查，了解到A，B两种水果销路比较好，A种水果每箱进价35元，B种水果每箱进价40元．（1）该水果零售商店共购进了这两种水果200箱，A种水果以每箱40元价格出售，B种水果以每箱50元的价格出售，获得的利润为w元，设购进的A种水果箱数为x箱，求w关于x的函数关系式；（2）在（1）的销售情况下，每种水果进货箱数不少于30箱，B种水果的箱数不少于A种水果箱数的5倍，请你计算出该水果零售商店能获得的最大利润是多少？23．（9分）正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点．（1）如图1，连BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连PQ，探究PQ与BO的关系，并证明；（2）如图2，K在AD上，连BK，过A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，连OM，ON，请判断△OMN的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为2，K在射线AD上运动，且△OMN的面积为，请直接写出AK的长．24．（11分）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且S△ABC＝6．（1）求抛物线的解析式；第25页（共25页）\n（2）M为直线BC上方抛物线上一点，是否存在点M，使得点M到直线BC的距离最大？若不存在，请说明理由；若存在，求点M的坐标及最大距离；（3）点P（m，0）为x轴上一动点将线段OC绕点P逆时针旋转90°，得到线段O'C'，若线段O'C'与抛物线只有一个公共点求m的取值范围．第25页（共25页）\n2020-2021学年湖北省武汉二中广雅中学九年级（上）质量评估数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的一次项系数是（　　）A．2B．3C．1D．﹣3【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案．【解答】解：该方程的一次项系数为﹣3，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的一般式，本题属于基础题型．2．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝0的根是（　　）A．1B．0C．0或1D．0或﹣1【分析】利用因式分解法把原方程转化为x＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．3．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（　　）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．第25页（共25页）\n【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．4．（3分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（　　）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．5．（3分）将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（　　）A．y＝﹣2（x﹣1）2+1B．y＝﹣2（x+1）2﹣5C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣5D．y＝﹣2（x+1）2+1【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向下平移3个单位后，所得抛物线的解析式是：y＝﹣2（x+1）2﹣2﹣3，即y＝﹣2（x+1）2﹣5．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．6．（3分）二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（　　）A．x＜﹣1B．x＞2C．﹣1＜x＜2D．x＜﹣1或x＞2第25页（共25页）\n【分析】根据函数图象求出与x轴的交点坐标，再由图象得出答案．【解答】解：由x2﹣x﹣2＝0可得，x1＝﹣1，x2＝2，观察函数图象可知，当﹣1＜x＜2时，函数值y＜0．故选：C．【点评】此类题可用数形结合的思想进行解答．7．（3分）将x2+4x﹣5＝0进行配方变形，下列正确的是（　　）A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：移项，得：x2+4x＝5，配方：x2+4x+4＝5+4，即（x+2）2＝9．故选：A．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，分支和小分支总数是91，每个支干长出的小分支数目是（　　）A．8B．9C．10D．11【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值．【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1＝91，解得：x＝9或x＝﹣10（不合题意，应舍去）；∴x＝9；故选：B．【点评】此题要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程求解，注意能够熟练运用因式分解法解方程．第25页（共25页）\n9．（3分）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n（n为正整数）个图形中共有的点数是（　　）A．（n+1）2+1B．6n﹣1C．5nD．5n+1【分析】设第n（n为正整数）个图形中共有an个点，根据各图形中点数的变化可找出变化规律“an＝6n﹣1（n为正整数）”，此题得解．【解答】解：设第n（n为正整数）个图形中共有an个点，观察图形，可知：a1＝5＝6×1﹣1，a2＝11＝6×2﹣1，a3＝17＝6×3﹣1，…，∴an＝6n﹣1（n为正整数）．故选：B．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中点数的变化，找出变化规律“an＝6n﹣1（n为正整数）”是解题的关键．10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；③a＜﹣．其中，正确结论的个数是（　　）A．0B．1C．2D．3【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴﹣＝，判断a，b与0的关系，得到abc＜0，即可判断①；根据题意得到抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断②；根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0）以及b＝﹣a，得到4a﹣2a+c＝0，即可判断③．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴点（2，0）关于直线x＝的对称点的坐标为（﹣1，0），第25页（共25页）\n∵c＞1，∴抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝，∴ab＜0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，∴顶点在x轴的上方，∵a＜0，∴抛物线与直线y＝a有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，∵b＝﹣a，∴4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0，∴﹣2a＝c，∵c＞1，∴﹣2a＞1，∴a＜﹣，故③正确，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知x＝﹣2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，则m的值是　4　．第25页（共25页）\n【分析】直接把x＝﹣2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．【解答】解：∵x＝﹣2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，∴4﹣2m+4＝0，∴m＝4．故答案是：4．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．12．（3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，则x1x2＝　﹣1　．【分析】由方程得出a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，根据x1x2＝即可得．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，∴x1x2＝＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解题的关键．13．（3分）已知A（﹣4，y1），B（1，y2），C（3，y3）三点都在抛物线y＝2（x﹣1）2上，则y1，y2，y3的大小关系是　y1＞y3＞y2　．【分析】首先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，A、B、C三点与对称轴的远近，判断y1，y2，y3的大小关系．【解答】解：由抛物线y＝2（x﹣1）2可知抛物线的对称轴为直线x＝1，∵a＝2＞0，∴抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，∵A（﹣4，y1）与对称轴的距离最远，B（1，y2）在对称轴上，∴y1＞y3＞y2．故答案为y1＞y3＞y2．【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△CBE沿CE翻折得到△CFE，连接AF．若∠EAF＝80°，那么∠BCF＝　20　度．第25页（共25页）\n【分析】根据矩形的性质得到∠B＝90°，根据线段中点的定义得到AE＝BE，由折叠的性质得到∠EFC＝∠B＝90°，∠FEC＝∠CEB，∠FCE＝∠BCE，FE＝BE，根据三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵E为边AB的中点，∴AE＝BE，由折叠的性质可得：∠EFC＝∠B＝90°，∠FEC＝∠CEB，∠FCE＝∠BCE，FE＝BE，∴AE＝FE，∴∠EFA＝∠EAF＝80°，∴∠BEF＝∠EAF+∠EFA＝160°，∴∠CEB＝∠FEC＝80°，∴∠FCE＝∠BCE＝90°﹣80°＝10°，∴∠BCF＝10°+10°＝20°；故答案为：20．【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质是解决问题的关键．15．（3分）平行四边形ABCD中，∠B＝45°，AB＝4，E为直线BC上一点，且∠CDE＝15°，则DE的长为　8或　．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，∠ADC＝∠B＝45°，过A作AH⊥BC于H，过EF⊥AD于F，则四边形AHEF是矩形，∠AHB＝∠DFE＝90°，得到AH＝EF，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图1，第25页（共25页）\n∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝45°，过A作AH⊥BC于H，过EF⊥AD于F，则四边形AHEF是矩形，∠AHB＝∠DFE＝90°，∴AH＝EF，∵∠B＝45°，AB＝4，∴AH＝EF＝AB＝4，∵∠CDE＝15°，∴∠EDF＝30°，∴DE＝2EF＝8；如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝45°，过A作AH⊥BC于H，过EF⊥AD于F，则四边形AHEF是矩形，∠AHB＝∠DFE＝90°，∴AH＝EF，∵∠B＝45°，AB＝4，∴AH＝EF＝AB＝4，∵∠CDE＝15°，∴∠EDF＝60°，∵EF＝4，第25页（共25页）\n∴DE＝EF＝；综上所述，DE的长为8或，故答案为：8或．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．16．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤3时，函数的最小值为﹣4，则m的值为　2或﹣　．【分析】分三种情况讨论，利用二次函数的增减性结合图象确定出函数值y取最小值﹣4时对应的x的值，代入解析式即可解决问题．【解答】解：二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），的对称轴为x＝m，∵当x＞m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小，∴①若m＜﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，函数值y的最小值为﹣4，可得：﹣4＝1+2m，解得：m＝﹣；②若﹣1≤m≤3，x＝m时，函数值y有最小值为﹣4，可得﹣4＝﹣m2，解得m＝2；③若﹣1≤x≤3＜m，x＝3时，函数值y的最小值为﹣4，可得：﹣4＝9﹣6m，解得m＝，不合题意；∴m的值为2或﹣．故答案为2或﹣．【点评】本题考查了二次函数的最值确定问题，分类讨论及数形结合思想的应用是解题的关键．三、解答题（共8题，共72分）17．（10分）按要求解下列方程：用配方法解：（1）x2﹣4x﹣1＝0；用公式法解：（2）3x2﹣5x+1＝0．【分析】（1）利用配方法解方程，两边同时加一次项系数一半的平方，配方解方程；（2）利用求根公式解答．第25页（共25页）\n【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x+4＝5，（x﹣2）2＝5，x﹣2＝±，解得x1＝2﹣，x2＝2+．（2）3x2﹣5x+1＝0，∵a＝3，b＝﹣5，c＝1，∴△＝25﹣12＝13＞0，∴x＝，解得x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．18．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），B（1，﹣4）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当y＝﹣3时，求自变量x的值．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）把函数值代入解析式，解方程即可求得．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（1，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣3，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）当y＝﹣3时，则x2﹣2x﹣3＝﹣3，解得x＝0或x＝2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式．19．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），篱笆长20m．（1）围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形场地的长和宽；（2）可以围成一个面积为60m2的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由．第25页（共25页）\n【分析】（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为（20﹣2x）m，根据矩形场地的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）设垂直于墙的边长为ym，则平行于墙的边长为（20﹣2y）m，根据矩形场地的面积为60m2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣20＜0，即可得出不能围成一个面积为60m2的矩形场地．【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为（20﹣2x）m，依题意，得：x（20﹣2x）＝50，整理，得：x2﹣10x+25＝0，解得：x1＝x2＝5，∴20﹣2x＝10．答：矩形场地的长为10m，宽为5m．（2）不能，理由如下：设垂直于墙的边长为ym，则平行于墙的边长为（20﹣2y）m，依题意，得：y（20﹣2y）＝60，整理，得：y2﹣10y+30＝0，∵Δ＝（﹣10）2﹣4×1×30＝﹣20＜0，∴不能围成一个面积为60m2的矩形场地．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1•x2的值，代入x12+x22＝6x1x2求解即可．【解答】解：（1）∵原方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，整理得：4﹣4m+4≥0，第25页（共25页）\n解得：m≤2；（2）∵x1+x2＝2，x1•x2＝m﹣1，x12+x22＝6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝6x1•x2，即4＝8（m﹣1），解得：m＝．∵m＝＜2，∴符合条件的m的值为．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．21．（8分）（1）完成表格，根据表格中的数据在网格的平面直角坐标系中画出y＝﹣x2﹣x+的图象．x…﹣4﹣3﹣2012…y＝﹣x2﹣x+…　﹣　12.532.5　1　　﹣　…（2）将（1）中的图象沿x轴翻折，得到的新抛物线的解析式为　y＝x2+x﹣　（直接填写）；（3）若抛物线y＝﹣x2﹣x+的顶点为A，点P（m，﹣5）在这条抛物线第三象限的图象上，直接写出S△AOP＝　10　．【分析】（1）画出函数的图象即可；（2）利用关于x轴对称点的坐标性质得出得出新的抛物线解析式；第25页（共25页）\n（3）求得P的坐标，然后根据待定系数法求得直线AP，进而求得直线AP与x轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）∵当x＝﹣2和x＝0时，函数值相同，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，∵x＝﹣3和x＝1的函数值应该相同，∵x＝﹣3时，y＝1，∴当x＝1时，y＝1，把x＝2代入y＝﹣x2﹣x+得y＝﹣，∴x＝﹣4时，y＝﹣，完成表格如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y＝﹣x2﹣x+…﹣12.532.51﹣…画出函数图象如图：（2）将（1）中的图象沿x轴翻折，得到的新抛物线的解析式为y＝x2+x﹣，故答案为y＝x2+x﹣；（3）把y＝﹣5代入y＝﹣x2﹣x+求得x＝﹣5，∴m＝﹣5，∴P（﹣5，﹣5），设直线AP的解析式为y＝kx+b，第25页（共25页）\n把A（﹣1，3），P（﹣5，﹣5）代入得，解得，∴直线AP的解析式为y＝2x+5，令y＝0，则x＝﹣，∴直线AP与x轴的交点为（﹣，0），∴S△AOP＝××（3+5）＝10．故答案为10．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，以及关于x轴对称点的性质，三角形面积等．22．（10分）某水果零售商店，通过对市场行情的调查，了解到A，B两种水果销路比较好，A种水果每箱进价35元，B种水果每箱进价40元．（1）该水果零售商店共购进了这两种水果200箱，A种水果以每箱40元价格出售，B种水果以每箱50元的价格出售，获得的利润为w元，设购进的A种水果箱数为x箱，求w关于x的函数关系式；（2）在（1）的销售情况下，每种水果进货箱数不少于30箱，B种水果的箱数不少于A种水果箱数的5倍，请你计算出该水果零售商店能获得的最大利润是多少？【分析】（1）根据题意，可以写出w关于x的函数关系式；（2）根据题意，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到最大利润．【解答】解：（1）由题意可得，w＝（40﹣35）x+（50﹣40）×（200﹣x）＝﹣5x+2000，即w关于x的函数关系式为w＝﹣5x+2000；（2）∵每种水果进货箱数不少于30箱，B种水果的箱数不少于A种水果箱数的5倍，∴，解得，30≤x≤33，∵w＝﹣5x+2000，∴w随x的增大而减小，∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝1850，答：该水果零售商店能获得的最大利润是1850元．第25页（共25页）\n【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．23．（9分）正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点．（1）如图1，连BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连PQ，探究PQ与BO的关系，并证明；（2）如图2，K在AD上，连BK，过A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，连OM，ON，请判断△OMN的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为2，K在射线AD上运动，且△OMN的面积为，请直接写出AK的长．【分析】（1）先由正方形和直角三角形的性质得BO⊥OC，BO＝AC＝OC，再证PQ是△OBC的中位线，得PQ∥OC，即可得出结论；（2）连接BO，先证△ABM≌△BCN（AAS），得AM＝BN，再证△AOM≌△BON（SAS），得OM＝ON，∠AOM＝∠BON，则∠MON＝∠AOB＝90°，即可得出结论；（3）由△OMN的面积求出OM＝ON＝，则MN＝OM＝，设AM＝BN＝x，再由勾股定理求出AM＝，设MK＝y，然后由勾股定理求出MK＝，即可解决问题．【解答】解：（1）PQ⊥BO，2PQ＝BO，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵点O为对角线AC的中点，∴BO⊥OC，BO＝AC＝OC，又∵点P，Q分别是CB，BO的中点，∴PQ是△OBC的中位线，第25页（共25页）\n∴PQ∥OC，∴PQ⊥BO，2PQ＝OC，∴2PQ＝BO；（2）△OMN是等腰直角三角形，理由如下：连接BO，如图2所示：由（1）得：BO＝AO，BO⊥AC，∴∠AOB＝90°，∵AM⊥BK，CN⊥BK，∴∠AMB＝∠AMK＝∠BNC＝90°，∴∠ABM+∠BAM＝∠ABM+∠CBN＝90°，∴∠BAM＝∠CBN，又∵AB＝BC，∴△ABM≌△BCN（AAS），∴AM＝BN，∵∠ABM+∠BAM＝∠MAK+∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠MAK，∵∠MAK+∠OAM＝∠ABM+∠OBN＝45°，∴∠OAM＝∠OBN，∴△AOM≌△BON（SAS），∴OM＝ON，∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝90°，∴△OMN是等腰直角三角形；（3）由（2）得：AM＝BN，△OMN是等腰直角三角形，OM＝ON，∴△OMN的面积＝OM×ON＝，∴OM＝ON＝，∴MN＝OM＝，设AM＝BN＝x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM2+BM2＝AB2，第25页（共25页）\n即x2+（x+）2＝22，解得：x＝±（负值舍去），∴AM＝，设MK＝y，由勾股定理得：AM2+MK2＝AK2＝BK2﹣AB2，即（）2+y2＝（++y）2﹣22，解得：y＝，∴MK＝，∴AK＝＝＝1．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．24．（11分）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且S△ABC＝6．（1）求抛物线的解析式；（2）M为直线BC上方抛物线上一点，是否存在点M，使得点M到直线BC的距离最大？若不存在，请说明理由；若存在，求点M的坐标及最大距离；（3）点P（m，0）为x轴上一动点将线段OC绕点P逆时针旋转90°，得到线段O'C'，若线段O'C'与抛物线只有一个公共点求m的取值范围．第25页（共25页）\n【分析】（1）将抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a写成交点式，则可得点A和点B的坐标，并用含a的式子表示出点C的坐标，再根据S△ABC＝6，可得a的值，则可得抛物线的解析式；（2）过M作MN∥y轴，交直线BC于N，根据点B和点C的坐标写出直线BC的解析式，设M（x，﹣x2+2x+3），则N（x，﹣x+3），将MN写成关于x的二次函数形式，根据二次函数的性质可得其最大值及此时点M的坐标；（3）当线段O'C'与抛物线只有一个公共点时，分情况考虑如下：①当O'在抛物线上时，把O'（m，﹣m）代入y＝﹣x2+2x+3，②当C'在抛物线上时，把C'（m﹣3，﹣m）代入y＝﹣x2+2x+3，分别得出关于m的方程，解方程，求得m的值，则可得取值范围．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），∴AB＝4，∵S△ABC＝6，∴×4×（﹣3a）＝6，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）过M作MN∥y轴，交直线BC于N，第25页（共25页）\n∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），又∵B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设M（x，﹣x2+2x+3），则N（x，﹣x+3），∴MN＝﹣x2+3x，＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝，即当M的坐标为（，）时，MN的最大值为；（3）∵C（0，3），O（0，0），P（m，0），由三垂直，可得O'（m，﹣m），C'（m﹣3，﹣m），当线段O'C'与抛物线只有一个公共点时，分情况考虑如下：①当O'在抛物线上时，把O'（m，﹣m）代入y＝﹣x2+2x+3，得﹣m2+2m+3＝﹣m，解得m＝；②当C'在抛物线上时，把C'（m﹣3，﹣m）代入y＝﹣x2+2x+3，得﹣（m﹣3）2+2（m﹣3）+3＝﹣m，∴m2﹣9m+12＝0，解得m＝±，∴≤m≤或≤m≤．第25页（共25页）\n【点评】本题属于二次函数综合题，考查抛物线与坐标轴的交点坐标、二次函数的性质、一元二次方程的应用及直线与抛物线的交点等知识点，数形结合、分类讨论及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布第25页（共25页）