2020-2021学年江苏省南通市启东市高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通市启东市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.已知命题，䁕，则￢为（）A.，䁕B.，䁕C.，䁕D.，䁕2.椭圆䁕＝的长轴长为（）A.B.C.D.3.已知关于的不等式䁕ܾ的解集为解集，则实数，ܾ的值是（）A.香，ܾ香B.香，ܾ香C.香，ܾ香D.香，ܾ香4.已知，，，ܾ，这五个实数成等比数列，则的值为（）A.B.C.D.不确定5.已知正数、ܾ满足䁕ܾ香，则䁕ܾ有（）A.最小值B.最小值C.最大值D.最大值6.“，ܾ”是“logܾ䁕logܾ”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要7.在等差数列中，已知前项和香解，则䁕䁕䁕ǤǤǤ䁕的值为（）A.B.C.D.8.，䁕，使得䁕成立，则实数的取值范围为（）解A.解集䁕B.解集䁕C.集䁕D.集䁕二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。)9.下列命题的否定中，是全称命题且为假命题的有（）A.中国所有的江河都流入太平洋B.有的四边形既是矩形，又是菱形C.存在，有䁕䁕香D.有的数比它的倒数小试卷第1页，总8页 10.已知，则（）A.B.C.䁕D.11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，解，，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（）A.香解B.香C.香D.䁕解䁕䁕ǤǤǤ䁕香12.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一焦点．一水平放置的椭圆形台球盘，，是其焦点，长轴长，焦距为．一静放在点处的小球（半径忽略不计），受击打后沿直线运动（不与直线重合），经椭圆壁反弹后再回到点时，小球经过的路程是（）A.B.C.䁕D.䁕三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。)䁕解13.不等式的解集是________．14.若方程䁕香表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是________．䁕15.已知，ܾ是正实数，且䁕ܾ香，则䁕的最小值是________．䁕䁕ܾ16.一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个小正方形挖掉（如图）；再将剩余的每个小正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个小正方形挖掉得图；如此继续下去……．设原正方形的边长为，则第解个图中共挖掉________个正方形，第个图中所有挖掉的正方形的面积和为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.已知椭圆䁕ܾ＝ܾ的两个焦点分别为、，短轴的一个端点为．（1）若为直角，焦距长为，求椭圆的标准方程；（2）若为钝角，求椭圆的离心率的取值范围．18.已知命题：关于的方程解䁕解香有两个大于的实数根．试卷第2页，总8页 （1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）命题解解䁕，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．19.已知数列是递增的等比数列，前解项和为解，且䁕解，解，解䁕成等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）数列ܾ的首项ܾ香，其前项和为，且____，若数列满足香ܾ，的前项和为，求的最小值．在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．①解䁕ܾ香；②ܾ香ܾ䁕；③ܾ香ܾ．20.已知数列的前项和香解䁕，求证：数列是等比数列的充要条件为香解．21.为了丰富市民的文化生活，市政府决定在、两个新村之间建一个市民广场．若、两个新村间的直线距离是解百米，建设部门在确定市民广场位置时，要充分考虑市民广场的噪音对新村居民的影响，经论证发现每个新村的噪音能量与离噪音点的距离成反比，由于两个新村的绿化等原因的差异，新村，的反比例系数分别为和．将两个新村和市民广场看成三个点，且在同一条直线上．设与之间的距离为百米，两个新村的噪音能量之和为函数．当与之间的距离为百米时，两个新村的噪音能量之和为．解（1）求函数的解析式，并写出定义域；（2）若两个新村的噪音能量之和最小时，市民广场的选址最合理，求最合理方案中与之间的距离．22.已知椭圆䁕香ܾ的短轴长为，椭圆上的动点到左焦点的距离ܾ的最大值为䁕．过点集的直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，且不与原点重合．（1）求椭圆的方程；（2）若轴上的一点满足香，求证：线段的中点在定直线上；（3）求的取值范围．试卷第3页，总8页 参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省南通市启东市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B2.C3.D4.A5.D6.A7.C8.B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.B,D10.C,D11.B,C,D12.B三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。13.集14.集15.16.解,四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.根据题意，椭圆䁕＝，如图，短轴的一个端点为，ܾ则香香，又由为直角，则为等腰直角三角形，若焦距长为，即香，则ܾ香香，香ܾ䁕香，则椭圆的标准方程为䁕香，若为钝角，即，则有sin香香，则有，故椭圆的离心率的取值范围为集．18.∵解䁕解香，∴解݉䁕݉香，解得香解或香䁕．依题意可得，香解且香䁕，解得，故实数的取值范围为．䁕假设存在实数使得是的必要不充分条件，所以试卷第4页，总8页 解解䁕⫋．䁕，即或，解得，故实数的取值范围为集݉解䁕䁕解＝解19.由题意得，＝䁕解䁕可得香解，䁕解香，设递增的等比数列数列的公比为，解得䁕解香，解得香解或香（舍），解则香香解解香解；（选①解䁕ܾ香，当时，解䁕ܾ香，又解䁕ܾ香，两式相减可得解ܾ香解解香ܾܾ，则ܾ香ܾ，可得ܾ为首项为，公比为的等比数列，则ܾ香；解香ܾ香，解解可得香解香，由为递增数列，可得香时，取得最小值；选②ܾ香ܾ䁕，可得ܾ为首项为，公差为的等差数列，则ܾ香䁕香，香ܾ香解解，则香解䁕解解䁕解䁕ǤǤǤ䁕解，解香解䁕解解䁕解解䁕ǤǤǤ䁕解，两式相减可得香䁕解䁕解䁕ǤǤǤ䁕解解解解香䁕解，解化简可得香䁕解，由为递增数列，可得香时，取得最小值；选③ܾ香ܾ，可得ܾ为首项为，公比为的等比数列，则ܾ香；解香ܾ香，解解可得香解香，香，香，试卷第5页，总8页 当为奇数时，；当为偶数时，，可得香时，取得最小值．20.证明：（1）先证充分性：当香解时，有香解䁕解，∵当时，有香香解䁕解香解；又当香时，香香解解香也适合上式，䁕∴香解，香解为常数，∴数列是等比数列；（2）再证必要性：当数列是等比数列时，有香，解∵香香，香香解解解香，香香解解解香，解解∴香，解得：香解，综合（1）（2），原命题得证．21.设新村的噪音能量为香，新村，的噪音能量为香，解则香䁕香䁕，解由题意，香，即䁕＝，解得香．解解解∴香䁕，解；解解解香䁕香䁕香解．解解解解解解解令香解，解解解解䁕解则͵香香，解解当集解时，͵，单调递减，当解集解时，͵，单调递增，∴当香解百米时，有最小值．故最合理方案中与之间的距离为解百米．ܾ＝22.根据题意可得䁕＝䁕，ܾ＝解得香，ܾ香，香，所以椭圆的方程为䁕香．证明：设集，集，集，䁕＝则，䁕＝䁕两式作差，得䁕䁕香，䁕所以香，䁕试卷第6页，总8页 䁕即香，䁕因为为中点，所以䁕香，䁕香，所以香香，因为香，为中点，所以，所以香香，所以直线方程为：香，当香时，香，所以集，所以中点为集恒在定直线香上得证．根据题意可得直线斜率存在，设直线方程为：香䁕，＝䁕联立，得䁕䁕䁕香，䁕＝解香䁕香，解得，所以䁕香䁕①，香䁕②，所以，同号，过点，分别作轴，轴于点，，则香香香，设＝，则香分别代入①②，得䁕香䁕③，香䁕④，䁕解解解由③④可得，香香，解䁕解䁕䁕解解即香，解䁕所以集，解䁕集，解解集，䁕解集，解䁕解䁕所以集解试卷第7页，总8页 䁕䁕䁕令香香香䁕䁕，所以䁕集，解当䁕香时，解得香，当䁕香时，解得香，解解解作出香䁕与香，香图象，解所以的取值范围为集集解，解所以的取值范围为集集解，解试卷第8页，总8页