2020-2021学年江苏省南通市如东县高一(上)期中数学试卷
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2020-2021学年江苏省南通市如东县高一(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共8小题,共40分))1.已知偶函数f(x)在区间[0, +∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f(12)的x的取值范围是()A.(14, 34)B.[14, 34)C.(13, 34)D.[13, 34)2.物理学规定音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小η可由如下公式计算:η=101gII0(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度),我们人类生活在一个充满声音的世界中,人们通过声音交换信息、交流情感,人正常谈话的音量介于40dB与60dB之间,则60dB声音的声波强度I1是40dB声音的声波强度I2的()A.32倍B.1032 倍C.100倍D.lg32倍3.已知集合M={(x, y)|2x+y=2},集合N={(x, y)|x-y=4},则M∩N是()A.x=2,y=-2B.(2, -2)C.{2, -2}D.{(2, -2)}4.如图,已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>6},B={x|-4≤x≤5},则图中阴影部分表示的集合为()A.{x|-2≤x<6}B.{x|x≤-4或x≥6}C.{x|-2≤x≤6}D.{x|-2≤x≤5}5.函数f(x)=2x+1+2x-1的定义域是()A.[-12,+∞)B.[12,+∞)C.[-12,12]D.(12,+∞)6.正数a,b满足9a+1b=2,若a+b≥x2+2x对任意正数a,b恒成立,则实数x的取值范围是()A.[-4, 2]B.[-2, 4]C.(-∞, -4]∪[2, +∞)D.(-∞, -2]∪[4, +∞)7.如图,函数f(x)的图象为两条射线CA,CB组成的折线,如果不等式f(x)≥x2-x-a的解集中有且仅有1个整数,那么实数a的取值范围是()试卷第7页,总7页
A.{a|-2<a<-1}B.{a|-2≤a<-1}C.{a|-2≤a<2}D.{a|a≥-2}8.函数f(x)=-4x2+12x4的大致图象是()A.B.C.D.二、不定项选择题(本大题共4小题,共16.0分))9.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔(L.E.J.Brouwer),简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x),存在一个点x0,使得f(x0)=x0,那么我们称该函数为“不动点”函数,下列为“不动点”函数的是()A.f(x)=1x+xB.g(x)=x2-x-3C.f(x)=2x2-1,x≤1|2-x|,x>1D.f(x)=1x-x10.已知x∈R,条件p:x2<x,条件q:1x≥a,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值可能有()A.-1B.0C.1D.211.已知集合M={-2, 3x2+3x-4, x2+x-4},若2∈M,则满足条件的实数x可能为()A.2B.-2C.-3D.112.下列说法中正确的有()A.不等式a+b≥2ab恒成立B.不等式a+b≤2(a2+b2)恒成立C.若a,b∈(0, +∞),则ba+ab≥2试卷第7页,总7页
D.存在a,使得不等式a+1a≤2成立三、填空题(本大题共4小题,共20.0分))13.若命题“∃x∈R,使得x2+(a-1)x+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是________.14.已知a>0,b>0,且2ab=a+b+4,则a+b的最小值为________.15.设f(x)=x2-2ax+1,x∈[0, 2],当a=3时,f(x)的最小值是________,若f(x)的最小值为1,则a的取值范围为________.16.已知f(2x+1)=x2-2x,则f(7)=________.四、解答题(本大题共6小题,共72.0分))17.已知函数f(x)=x2-(a+b)x+a.(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2},求a,b的值;(2)当b=1时,解关于x的不等式f(x)>0.18.2020年初,新冠肺炎疫情袭击全国,对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下,我们控制住了疫情.接着我们一方面防止境外疫情输入,另一方面逐步复工复产,减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响,某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将产品的销售价格定为每件产品元.(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?19.化简下列各式:(1)(235)0+2-2⋅(214)-12-(0.01)0.5;(2)(1-log63)2+log62⋅log618log64.20.已知全集为R,集合A={x∈R|x-5x+3>0},B={x∈R|2x2-(a+10)x+5a≤0}.(1)若B⊆∁RA,求实数a的取值范围;(2)从下面所给的三个条件中选择一个,说明它是B⊆∁RA的什么条件(充分必要性).①a∈[-7, 10);②a∈(-7, 10];③a∈(6, 10].21.已知f(x)=xx2+4,x∈(-2, 2).(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由;试卷第7页,总7页
(2)求证:函数f(x)在(-2, 2)上是增函数;(3)若不等式f(x)<(a-2)t+5对任意x∈(-2, 2)和a∈[-3, 0]都恒成立,求t的取值范围.22.若函数f(x)在定义域内的某个区间I上是增函数,而y=f(x)x在区间I上是减函数,则称函数y=f(x)在区间I上是“弱增函数”.(1)若函数h(x)=x2+(m-12)x+b(m、b是常数)在区间(0, 1]上是“弱增函数”,求m、b应满足的条件;(2)已知f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+k|x-4|(k是常数且k≠0),若存在区间I使得y=f(x)在区间I上是“弱增函数”,求k的取值范围.试卷第7页,总7页
参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省南通市如东县高一(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共8小题,共40分)1.A2.C3.D4.D5.B6.A7.B8.D二、不定项选择题(本大题共4小题,共16.0分)9.B,C,D10.A,B,C11.A,C12.B,C,D三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.(-∞, -1)∪(3, +∞)14.415.-7,(-∞, 0]16.3四、解答题(本大题共6小题,共72.0分)17.由题意可得,1,2是x2-(a+b)x+a=0的两根,所以a+b=3a=2 ,所以a=2,b=1,当b=1时,f(x)=x2-(a+1)x+a>0可得(x-a)(x-1)>0,当a<1时,解可得x<a或x>1,当a=1时,解可得,x≠1,当a>1时,解可得x<1或x>a综上可得,当a<1时,{x|x<a或x>1},当a=1时,{x|x≠1},当a>1时,{x|x<1或x>a}18.∵不搞促销活动,该产品的年销售量只能是2万件,x=2,∴8=4-,解得k=2>0,得y=•x-(8+16x)-m=36-;y=36--m=37-≤37-4=29,试卷第7页,总7页
当且仅当=m+1,等号成立,故该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.19.(235)0+2-2⋅(214)-12-(0.01)0.5;=1+(12)2⋅(94)-12-[(0.1)2]0.5=1+14×23-110=1615;因为:1-log63=log66-log63=log62;所以:(1-log63)2+log62⋅log618log64=(log62)2+log62⋅log618log622=log62(log62+log618)21og62=log6362=1.20.集合A={x∈R|x-5x+3>0}=(-∞-3)∪(5, +∞),所CRA=[-3, 5],集合B={x∈R|2x2-(a+10)x+5a≤0}={x∈R|(2x-a)(x-5)≤0},若B⊆CRA,且5∈CRA=[-3, 5],只需-3≤a2≤5,所以-6≤a≤10.由(1)可知B⊆∁RA的充要条件是a∈[-6, 10],选择①,则结论是不充分不必要条件;选择②,则结论是必要不充分条件;选择③,则结论是充分不必要条件.21.f(x)在(-2, 2)为奇函数,证明如下:f(x)的定义域(-2, 2)关于原点对称,f(-x)=-x(-x)2+4=-xx2+4=-f(x),即f(x)为(-2, 2)内的奇函数;证明:设-2<x1<x2<2,则f(x1)-f(x2)=x1x12+4-x2x22+4=x1x2(x2-x1)+4(x1-x2)(x12+4)(x22+4)=(x1-x2)(4-x1x2)(x12+4)(x22+4),由-2<x1<x2<2,可得x1-x2<0,x1x2<4,即4-x1x2>0,x12+4>0,x22+4>0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(-2, 2)上是增函数;试卷第7页,总7页
不等式f(x)<(a-2)t+5对任意x∈(-2, 2)恒成立,由函数f(x)在(-2, 2)上是增函数,可得f(x)<f(2)=14,则(a-2)t+5≥14,即(a-2)t≥-194,再由(a-2)t≥-194对a∈[-3, 0]恒成立,设g(a)=at-2t+194,可得g(-3)≥0,且g(0)≥0,由-3t-2t+194≥0-2t+194≥0,可得t≤1920,则t的取值范围是(-∞, 1920].22.由题意,h(x)=x2+(m-12)x+b(m,b是常数)在(0, 1]上是增函数,h(x)x=x+bx+(m-12)在(0, 1]上是减函数,∴-m-0.52≤0,b≥1,∴m≥0.5,b≥1;∵f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+k|x-4|,当x<1时,f(x)=-(k+3)x+(6+4k),f(x)x=-(k+3)+6+4kx,使得y=f(x)在区间I上是“弱增函数”,则-(k+3)>06+4k>0,无解,当1≤x<2时,f(x)=-(k+1)x+(4+4k),f(x)x=-(k+1)+4+4kx,使得y=f(x)在区间I上是“弱增函数”,则-(k+1)>04+4k>0,无解,当2≤x<3时,f(x)=(1-k)x+4k,f(x)x=(1-k)+4kx,使得y=f(x)在区间I上是“弱增函数”,则1-k>04k>0,解得:0<k<1,当3≤x<4时,f(x)=(3-k)x+(4k-6),f(x)x=(3-k)+4k-6x,使得y=f(x)在区间I上是“弱增函数”,则3-k>04k-6>0,解得:32<k<3,当x≥4时,f(x)=(3+k)x+(-4k-6),f(x)x=(3+k)+-4k-6x,使得y=f(x)在区间I上是“弱增函数”,则3+k>0-4k-6>0,解得:-3<k<-32,综上,k的取值范围是(-3, -32)∪(32, 3).试卷第7页,总7页
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