2019-2020学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期中数学试卷

2019-2020学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题：把答案填在答题卡指定位置上.)1.已知集合＝‸〱⸹⸹〱，＝ᦙ䁡ᦙ‸〱＝，则＝（）A.〱B.〱⸹C.‸〱⸹〱D.‸〱⸹⸹〱ᦙt〱2.函数的定义域是ᦙA.‸〱⸹tB.⸹tC.‸〱⸹tD.‸〱⸹⸹tᦙ⸹ᦙ3.已知函数ᦙ，则（‸〱）＝（）‸ᦙt〱⸹ᦙͳ〱A.‸〱B.C.〱D.4.已知ᦙ＝ᦙͳ⸹〱，且〱൏，则实数的取值范围是（）A.〱⸹tB.⸹〱C.⸹tD.⸹〱〱⸹t5.下列函数中，在区间⸹t上单调递增的是（）〱〱‸ᦙA.＝ᦙB.C.＝D.䁟〱ᦙᦙ6.设＝log香൏，＝香൏，＝香൏，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.7.求值：൏t䁟〱‸䁟〱൏൏A.B.C.D.〱8.幂函数ᦙ的图象经过点⸹，⸹，则＝（）A.B.C.D.9.在同一直角坐标系中，函数ᦙᦙᦙͳ，ᦙlogᦙ的图象可能是（）A.B.C.D.试卷第1页，总6页 10.如果ᦙ是函数ᦙ＝ᦙtᦙ‸൏的零点，且ᦙ晦⸹晦t〱，晦，那么晦的值是（）A.‸〱B.C.〱D.11.已知函数ᦙ为奇函数，ᦙ为偶函数，且ᦙtᦙ＝ᦙt൏，则〱＝（）A.൏B.C.D.12.已知ᦙ是定义在上的偶函数，且在区间⸹t上单调递增．若实数满足൏䁡t〱䁡ͳ‸൏，则的取值范围是（）൏〱〱൏A.‸⸹‸‸⸹tB.‸⸹⸹t൏〱〱൏C.‸⸹‸D.⸹二、填空题：把答案填在答题卡指定位置上.)13.设＝⸹，＝t⸹，且＝，则实数的值是________．14.设ᦙ是奇函数，且当ᦙ时，ᦙ＝ᦙ‸〱，则当ᦙͳ时，ᦙ＝________．15.甲乙两人同时各接受了个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间ᦙ（分）之间的函数关系，点横坐标为〱，点坐标为〱⸹，点横坐标为〱．则甲每分钟加工的数量是________，点的坐标是________．〱‸䁡ᦙ䁡⸹ᦙ〱16.已知函数ᦙ，函数ᦙ＝〱‸ᦙ‸，其中，若函ᦙ‸〱⸹ᦙͳ〱数＝ᦙtᦙ恰有个零点，则的取值范围是________．三、解答题：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知函数ᦙ＝logᦙͳ⸹〱，且‸＝〱．（1）求函数ᦙ的表达式；（2）判断函数ᦙ＝tᦙt‸ᦙ的奇偶性，并说明理由．〱ᦙ18.已知全集＝，集合＝ᦙ䁡logᦙ〱，函数ᦙ‸ᦙ的值域为集合，（1）求；试卷第2页，总6页 （2）已知＝‸〱⸹‸，若，求实数的取值范围．19.已知二次函数ᦙ＝ᦙtᦙtͳ，对称轴为直线ᦙ＝，且＝〱．（1）若函数ᦙ的最小值为‸〱，求ᦙ的解析式；（2）函数ᦙ的最小值记为，求函数＝的最大值．20.某村充分利用自身资源，大力发展养殖业以增加收入．计划共投入万元，全部用于甲、乙两个项目，要求每个项目至少要投入万元在对市场进行调研时发现甲项ᦙt⸹ᦙ൏目的收益〱与投入ᦙ（单位：万元）满足〱，乙项目的收益⸹൏ᦙ〱与投入ᦙ（单位：万元）满足ᦙt．（1）当甲项日的投入为万元时，求甲、乙两个项目的总收益；（2）问甲、乙两个项目各投入多少万元时，总收益最大？21.设函数ᦙ＝ᦙt晦‸〱‸ᦙͳ⸹〱是定义域为的奇函数．（1）求实数晦的值；（2）若〱ͳ，试判断函数ᦙ的单调性，并求不等式ᦙ‸ᦙt‸ᦙ‸ͳ的解集；൏ᦙt‸ᦙ‸ᦙ，ᦙ在⸹〱上的最小值为‸〱，求（3）若〱，设ᦙ＝实数的值．〱ᦙ〱tᦙ22.已知集合ᦙ䁡ᦙ〱tᦙ，其中ᦙ〱，ᦙ是函数ᦙ定义城内任意不相等的两个实数．（1）若ᦙ，同时ᦙ，求证：ᦙtᦙ；（2）判断ᦙ＝ᦙ是否在集合中，并说明理由；（3）设函数ᦙ的定义域为，函数ᦙ的值域为．函数ᦙ满足以下൏个条件：①ᦙ，②＝，③〱．试确定一个满足以上൏个条件的函数ᦙ要对满足的条件进行说明．试卷第3页，总6页 参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题：把答案填在答题卡指定位置上.1.C2.D3.B4.A5.A6.B7.B8.D9.D10.B11.A12.A二、填空题：把答案填在答题卡指定位置上.13.14.ᦙt〱15.,〱⸹൏16.〱三、解答题：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.根据题意，因为ᦙ＝logᦙͳ⸹〱，且‸＝〱，所以‸＝log‸log＝〱，即log＝〱．，解得＝，所以ᦙ＝logᦙ；因为ᦙ＝logᦙ，所以ᦙ＝logtᦙtlog‸ᦙtᦙͳ由得‸ᦙ，‸ᦙͳ得ᦙ的定义域为‸⸹，又因为‸ᦙ＝log‸ᦙtlogtᦙ＝ᦙ，所以ᦙ＝logtᦙtlog‸ᦙ为偶函数．18.＝⸹t，＝〱⸹，所以＝⸹；∵，可得‸〱‸，‸〱〱，‸，解得，൏∴的取值范围为⸹．൏19.因为ᦙ对称轴为直线ᦙ＝，所以‸，则＝‸．又＝〱，所以＝〱．∴ᦙ＝ᦙ‸ᦙt〱＝ᦙ‸t〱‸因为ͳ，所以当ᦙ＝时ᦙ有最小值〱‸＝‸〱，〱〱所以，∴ᦙᦙ‸ᦙt〱．试卷第4页，总6页 由（1）知ᦙ＝ᦙ‸ᦙt〱＝ᦙ‸t〱‸．∴＝＝〱‸．〱〱∴〱‸‸‸t，⸹t〱〱∴的最大值为．〱20.甲、乙两个项日的总收益为香万元；甲、乙两个项日分别投入万元、万元时，总收益最大21.因为函数ᦙ＝ᦙt晦‸〱‸ᦙͳ⸹〱是定义域为的奇函数，所以＝，即〱t晦‸〱＝，得晦＝．当晦＝时，ᦙ＝ᦙ‸‸ᦙ，‸ᦙ＝‸ᦙ‸ᦙ＝‸ᦙ，符合题意．所以晦＝．由（1）知ᦙ＝ᦙ‸‸ᦙ，〱＝‸‸〱ͳ，解得ͳ〱设ᦙ〱，ᦙ是任意两个实数，且ᦙ〱ᦙ，则ᦙ‸ᦙᦙ〱‸‸ᦙ〱‸ᦙ‸‸ᦙᦙ〱‸ᦙt‸ᦙ‸‸ᦙ〱〱因为ͳ〱，ᦙᦙ，‸ᦙ‸ᦙ，所以ᦙ〱ᦙ，‸ᦙ‸ᦙ〱〱〱所以ᦙ‸ᦙᦙ〱‸ᦙt‸ᦙ‸‸ᦙ〱，〱即ᦙ〱ᦙ所以ᦙ为上的增函数．因为ᦙ是定义域为的奇函数，所以‸ᦙ‸＝‸ᦙt，不等式ᦙ‸ᦙt‸ᦙ‸ͳ同解于ᦙ‸ᦙͳᦙt．因为ᦙ为上的增函数，所以ᦙ‸ᦙͳᦙt，解得ᦙ‸〱或ᦙͳ所以不等式ᦙ‸ᦙt‸ᦙ‸ͳ的解集为ᦙ䁡ᦙ‸〱或ᦙͳ．൏‸〱൏由〱得‸，解得＝．所以ᦙ＝ᦙ‸‸ᦙ，ᦙ＝ᦙt‸ᦙ‸ᦙ＝ᦙ‸‸ᦙt‸ᦙ＝ᦙ‸ᦙtᦙ‸ᦙ൏由（2）知ᦙ＝‸是单调递增函数，因为ᦙ香〱，所以ᦙ⸹．൏令＝ᦙ，则＝‸t＝‸t‸，⸹．൏当时，函数＝‸t在⸹单调递增，min＝不合题意；൏൏〱当时，函数＝‸t在⸹单调递减，min‸൏＝‸〱，解得；൏൏当时，函数＝‸t在⸹上单调递减，在⸹上单调递增，＝‸＝‸〱，得൏（舍去）min综上所述，实数的值为．22.证明：设ᦙ＝ᦙtᦙ，ᦙ〱，ᦙ是函数ᦙ定义域内任意不相等的两个实数．试卷第5页，总6页 〱ᦙ〱tᦙ〱因为ᦙ，所以ᦙ〱tᦙ①，同理ᦙ〱tᦙᦙ〱tᦙ②，〱〱ᦙ〱tᦙᦙ〱tᦙ①+②，得ᦙ〱tᦙtᦙ〱tᦙt，〱ᦙ〱tᦙᦙ〱tᦙ即ᦙ〱tᦙ〱tᦙtᦙt，〱ᦙ〱tᦙ即ᦙ〱tᦙ，所以ᦙ，即ᦙtᦙ；ᦙ＝ᦙ的定义域为．取ᦙ〱＝，ᦙ＝〱，〱〱൏ᦙ〱tᦙt〱〱则ᦙ〱tᦙ〱t，，൏〱ᦙ〱tᦙ因为ͳ，所以ᦙ〱tᦙͳ，所以ᦙ＝ᦙ不在集合中；ᦙ＝〱‸ᦙ，＝⸹〱；①设ᦙ〱，ᦙ是⸹〱内任意不相等的两个实数，〱〱ᦙᦙtᦙ〱ᦙtᦙ〱tᦙ〱tᦙ〱t〱，ᦙ〱tᦙ‸ᦙ〱t〱，‸ᦙ〱tᦙ‸ᦙ〱tᦙ‸ᦙ〱‸ᦙ，〱ᦙ〱tᦙ所以ᦙ〱tᦙ，所以ᦙ，②＝＝⸹〱，③＝‸൏〱．试卷第6页，总6页