2019-2020学年江苏省某校高一（上）期中数学试卷

2019-2020学年江苏省某校高一（上）期中数学试卷一、单选题（每小题5分，计60分）)1.已知集合A={x|x2=x}，B={-1, 0, 1, 2}，则A∩B=(    )A.{-1, 2}B.{-1, 0}C.{0, 1}D.{1, 2}2.函数f(x)=x+3+1x+2的定义域为（）A.[-3, +∞)B.[-3, -2)C.[-3, -2)∪(-2, +∞)D.(-2, +∞)3.设集合A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，若A⊆B，则a的范围是(    )A.a≥2B.a≥1C.a≤1D.a≤24.已知f(1x-1)＝x+1，则f(x)＝（）A.1x+2B.1+xxC.1x+2D.1x-15.已知幂函数f(x)过点(2, 16)，则f(3)=(    )A.27B.81C.12D.46.若函数f(x)＝x2-2mx+1在[3, 4)上是单调函数，则实数m的取值范围为（）A.m≤3B.m≥5C.m≥3D.m≤3或m≥47.若集合A＝{x∈R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素，则a＝（）A.4B.2C.0D.0或48.设f(x)是奇函数，且在(0, +∞)内是增加的，又f(-3)＝0，则x⋅f(-x)<0的解集是（）A.{x|x<-3, 或0<x<3}B.{x|-3<x<0, 或x>3}C.{x|x<-3, 或x>3}D.{x|-3<x<0, 或0<x<3}9.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0, m]，值域为[-254, -4]，则m的取值范围是(    )A.(0, 4]B.[32，4]C.[32，3]D.[32，+∞)10.函数f(x)=log12(x2-2x-3)的单调递增区间是(    )A.(-∞, -1)B.(-∞, 1)C.(1, +∞)D.(3, +∞)11.已知函数f(x)=lg(1+|x|)-11+x2，不等式f(x+2)≤f(-1)的解集是（）A.(-∞, -3]B.(-∞, -3]∪[-1, +∞)C.[-3, -1]D.[-3, +∞)试卷第5页，总6页 12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ax-x2，其中a≤0．若存在实数m<n，使得f(x)的定义域与值域都为[m, n]，则实数a的取值范围是（）A.(-∞, 1)B.(-1, 0]C.(-∞, 0]D.⌀二、填空题（每小题5分，计20分）)13.若函数y＝x2+(1-a)x-a为偶函数，则实数a的值为________．14.若a=log23，则2a+2-a=________．15.已知函数f(x)=-x2+ax(x<1)(6-a)x-a(x≥1) ，若对任意实数x1≠x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立，则实数a的取值范围是________[2,73]．16.已知函数f(x)＝|log2|x-1||，若关于x的方程[f(x)]2+a⋅f(x)+b＝0有6个不同的实数解，且最小实数解为-3，则a+b的值为________．三、解答题（共6题，计70分）)17.已知集合A＝{x|x2-2x-3<0}，集合B＝{x|x2+x-6<0}．（1）求A∩B；（2）若不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B，求实数a，b的值．18.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2-x-3，（1）求函数f(x)的表达式；（2）求方程f(x)＝x的解集．19.设集合A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2(a+1)x+a2-1＝0}．（1）若-1∈B，求a的值；（2）若B⊆A，求a的值．20.已知定义在区间(-1, 1)上的函数f(x)=x+ax2+1为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断并证明函数f(x)在区间(-1, 1)上的单调性；（3）解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0．21.已知函数f(x)＝loga(2x-3)+1(a>0，且a≠1)．（1）证明：当a变化，函数f(x)的图象恒经过定点；（2）当a＝10时，设g(x)＝f(x)-1，且g(3)＝m，g(4)＝n，求log645（用m，n表示）；（3）在（2）的条件下，是否存在正整数k，使得不等式2g(x+1)>lg(kx2)在区间[3, 5]上有解，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由．22.已知函数f(x)＝x2+2|x-a|-4，（其中a为常数）（1）若a＝2，写出函数f(x)的单调递增区间（不需写过程）；（2）判断函数f(x)的奇偶性，并给出理由；试卷第5页，总6页 （3）若对任意实数x，不等式f(x)≥-1恒成立，求实数a的取值范围．试卷第5页，总6页 参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省某校高一（上）期中数学试卷一、单选题（每小题5分，计60分）1.C2.C3.A4.C5.B6.D7.A8.C9.C10.A11.C12.B二、填空题（每小题5分，计20分）13.114.10315.[2,73]16.-2三、解答题（共6题，计70分）17.∵x2-2x-3<0，∴(x-3)(x+1)<0，解得：-1<x<3，∴A＝{x|-1<x<3}，∵x2+x-6<0，∴(x+3)(x-2)<0，解得：-3<x<2，∴B＝{x|-3<x<2}，∴A∩B＝{x|-1<x<2}；由（1）得：-1，2为方程x2+ax+b＝0的两根，∴1-a+b=04+2a+b=0 ，∴a=-1b=-2 ．18.根据题意，函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，当x<0时，-x>0，则f(x)＝-f(-x)＝-(x2+x-3)＝-x2-x+3，∴f(x)=x2-x-3,x>00,x=0-x2-x+3,x<0 ，由（1）得：当x>0时，∵f(x)＝x，∴x2-x-3＝x，∴x＝3（舍负），当x＝0时，f(x)＝x成立；当x<0时，∵f(x)＝x试卷第5页，总6页 ，∴-x2-x+3＝x，∴x＝-3（舍正），综上，方程f(x)＝x的解集为{-3, 0, 3}．19.由题得A＝{0, -4}，-1是方程x2+2(a+1)x+a2-1＝0的根，∴1-2(a+1)+a2-1＝0，∴a2-2a-2＝0，∴a＝1±3；由题得，A＝{0, -4}，①当B＝⌀时，△＝4(a+1)2-4(a2-1)<0，∴a<-1；②当B＝{0}或{-4}时，△＝0，∴a＝-1，此时B＝{0}，成立；③当B＝{0, -4}时，-2(a+1)=-4a2-1=0 ，∴a＝1，综上，a＝1或a≤-1．20.根据题意，函数f(x)=x+ax2+1为定义在区间(-1, 1)上的奇函数，则f(0)＝a＝0，即a＝0，此时f(x)=xx2+1为奇函数，符合题意；故a＝0；f(x)=xx2+1在(-1, 1)上为增函数，证明：设-1<x1<x2<1，则f(x1)-f(x2)=x11+x12-x21+x22=(x1-x2)(1-x1x2)(1+x12)(1+x22)，又由-1<x1<x2<1，则(x1-x2)<0，1-x1x2>0，则有f(x1)-f(x2)<0，故函数f(x)在(-1, 1)上为增函数；根据题意，由（1）（2）的结论，f(x)为奇函数且在(-1, 1)上为增函数，则f(t-1)+f(t)<0⇒f(t-1)<-f(t)⇒f(t-1)<f(-t)⇒t-1<-t-1<t<1-1<t-1<1 ，解可得：0<t<12，即t不等式的解集为(0, 12)．21.证明：当x＝2时，不论a取何值，都有f(2)＝loga(2×2-3)+1＝loga1+1＝1，故函数f(x)的图象恒经过定点(2, 1)；当a＝10时，g(x)＝f(x)-1＝lg(2x-3)，∴m＝g(3)＝lg3，n＝g(4)＝lg5，∴log645=lg45lg6=lg9+lg5lg3+lg2=2m+nm-n+1．不等式2g(x+1)>lg(kx2)化为lg(2x-1)2>lg(kx2)即k<(2x-1)2x2在区间[3, 5]上有解；令h(x)=(2x-1)2x2,x∈[3,5]，则k<h(x)max，∵h(x)=(2x-1)2x2=(1x-2)2，1x∈[15,13]，∴k<h(x)max=h(5)=8125=3625，又k是正整数，故k的最大值为3．22.a＝2，函数f(x)＝x2+2|x-2|-4，所以，递增区间为：(1, +∞)；试卷第5页，总6页 当a＝0时，f(x)＝x2+2|x|-4，∴f(x)＝f(-x)∴f(x)为偶函数；当a≠0时，f(2)＝2|2-a|，f(-2)＝2|a+2|，∴f(2)≠±f(-2)∴f(x)为非奇非偶函数；转化为求函数y＝f(x)的最小值，设g(x)＝(x+1)2-2a-5，(x≥a)，h(x)＝(x-1)2+2a-5，(x<a)①对于g(x)＝(x+1)2-2a-5，(x≥a)当a<-1时，gmin(x)＝g(-1)＝-2a-5；当a≥-1时，gmin(x)=g(a)=a2-4②对于h(x)＝(x-1)2+2a-5，(x<a)当a<1时，hmin(x)=h(a)=a2-4，当a≥1时，hmin(x)＝h(1)＝2a-5①当a<-1时，a2-4-(-2a-5)＝a2+2a+1＝(a+1)2≥0，∴fmin(x)＝gmin(x)＝g(-1)＝-2a-5，由-2a-5≥-1，解得a≤-2满足；②当-1≤a<1时，fmin(x)=a2-4，由a2-4≥-1，解得a<-3或a>3，不满足；③当a≥1时，a2-4-(2a-5)＝a2-2a+1＝(a-1)2≥0，∴fmin(x)＝hmin(x)＝h(1)＝2a-5，由2a-5≥-1，解得a≥2，满足题意．所以实数a的取值范围是：a≤-2或a≥2．试卷第5页，总6页