2019-2020学年江苏省无锡市某校高一（上）期中数学试卷

2019-2020学年江苏省无锡市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡相应位置.）)1.已知＝‸㔱，＝ᦙ㔱‸㔱，则＝（）A.‸B.ᦙ㔱㔱C.ᦙ㔱㔱‸㔱㔱D.ᦙ㔱‸㔱㔱ᦙ2.函数ሺݔtᦙt的定义域为（）香A.ሺ香ᦙ㔱ݔt㔱ሺݔ㔱ᦙሺ.Cݔt㔱ሺݔ㔱ᦙ香.Bݔt㔱ሺݔD.ᦙ㔱ݔt㔱ሺݔ3.下列图象中，表示函数关系ሺݔ的是()A.B.C.D.t‸㔱ng4.已知ሺݔ香ሺ（（则，g㔱ᦙݔ））的值为（）t㔱ǡgA.香B.C.‸D.香‸ᦙ5.设香ᦙ㔱ᦙ㔱，‸，则使函数的定义域是，且为奇函数的所有的值是（）A.ᦙ，‸B.香ᦙ，ᦙC.香ᦙ，‸D.香ᦙ，ᦙ，‸，＝g‸，䁞6.已知＝g‸ᦙ，则，，的大小为（）A.nnB.nnC.nnD.nn7.函数logሺ香‸tᦙݔ的递减区间为（）ᦙ‸ᦙᦙA.ሺᦙ㔱tݔt，ሺ.Cݔ㔱香ሺ.BݔD.ሺ香㔱8.设ሺݔ㘶香ሺ则，㘶＝ݔ㘶ሺ若，数常为，中其，香ᦙ香t‸＝ݔ＝（）A.香ᦙ㘶B.香㘶C.㘶D.ᦙ㘶9.函数ሺݔ＝香ȁ香ȁt的零点所在的区间为（）A.ሺ香ᦙ㔱gݔ‸㔱ሺ.Dݔ㔱ᦙሺ.Cݔᦙ㔱gሺ.Bݔ10.已知函数ሺݔt㔱gሺ在且，数函偶为香ݔ香ሺt＝ݔ上单调递减，则ሺݔǡg的解集为（）A.ሺ香㔱香ᦙݔt㔱ᦙሺݔᦙ香㔱香ሺ.Bݔᦙ㔱gሺݔ试卷第1页，总7页 C.ሺ香ᦙ㔱ᦙݔt㔱ᦙሺݔg㔱ᦙ香ሺ.Dݔሺݔ香ሺ香ݔ11.设奇函数ሺݔ在ሺg㔱tݔ上为增函数，且ሺᦙݔ＝g，则不等式ǡg的解集为（）A.ሺ香ᦙ㔱gݔᦙ㔱gሺݔᦙ香㔱香ሺ.Bݔt㔱ᦙሺݔC.ሺ香㔱香ᦙݔᦙ㔱gሺݔg㔱ᦙ香ሺ.Dݔt㔱ᦙሺݔ12.若直角坐标平面内的两点，满足：①，都在函数ሺݔ的图象上；②，关于原点对称，则称点对ሺ㔱ݔ是函数＝ሺݔ的一对“友好点对”．（注：点对ሺ㔱ݔ与ሺ㔱ݔ看作同一对“友好点对”）．䁞㔱ng已知函数ሺݔ，则该函数的“友好点对”有（）香香㔱gA.g对B.ᦙ对C.对D.‸对二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应位置.）)13.函数ሺݔᦙ且gnሺᦙ香t‸＝ݔ的图象过定点________．t香香ᦙ的定义域为，则实数的取值范围为________．14.若函数ሺݔ15.设ሺݔᦙtሺǡݔሺ若，数函增为上ݔt．g在，数函偶的上在义定为ݔ，则实数的取值范围是________．ሺ‸香ᦙݔt㔱ǡᦙ16.若ሺݔ在上为单调减函数，则实数的取值范围是䁞㔱ᦙᦙ________ǡ．‸三、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题纸的指定区域内）)17.计算：㘶ᦙᦙgᦙ‸g香香（1）ሺݔሺ香ݔ香‸ሺ香ݔ‸tg；㘶（2）logt‸logᦙ香lg‸䁞香lg．‸18.已知集合＝ȁ香香g，＝ȁtᦙ‸香ᦙ．（1）当＝‸时，求；（2）若，求实数的取值集合．19.已知函数ሺݔሺ，gn当，数函奇为ݔ＝香t香．试卷第2页，总7页 （1）求当ǡg时，函数ሺݔ的解析式．ሺݔ㔱香㔱香ᦙ（2）设ሺݔሺ出指图由并，象图的ݔሺ出作，ݔ的䁞ሺtݔ香ᦙ㔱ሺ香ᦙ㔱单调区间和值域．20.已知ሺݔ㔱香ሺ，ݔt（1）判断ሺݔ的奇偶性并说明理由；（2）求证：函数ሺݔ在ሺ香㔱ݔ上是增函数；（3）若ሺtݔ香ᦙሺtݔng，求实数的取值范围．21.某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图ᦙ，产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图．（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将，两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式；（2）该企业已筹集到ᦙg万元资金，并全部投入，两种产品的生产，怎样分配这ᦙg万元投资，才能使企业获得最大利润，最大利润为多少万元？22.已知＝g和＝ᦙ是函数ሺݔ＝‸香tt的两个零点．（1）求实数，的值；试卷第3页，总7页 ሺݔ（2）设函数ሺݔ．①若不等式ሺlnݔ香lng在㔱上恒成立，求实数的取值范围；②若ሺȁ香ᦙȁݔt香‸＝g有三个不同的实数解，求实数的取值范围．ȁ香ᦙȁ试卷第4页，总7页 参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省无锡市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡相应位置.）1.D2.B3.D4.B5.A6.C7.A8.A9.B10.B11.D12.C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应位置.）13.ሺᦙ㔱ݔ14.香ᦙ㔱g‸ᦙ15.ȁǡ香nᦙ16.㘶三、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题纸的指定区域内）㘶ᦙᦙ‸香‸17.原式香ᦙ香ሺݔሺt‸ݔ香t㈵；‸‸ᦙlg原式tᦙ香lg‸香lg香ሺlgtlgݔ．lg‸18.＝ȁ香ᦙ，当＝‸时，＝ȁ㈵，∴＝ȁ；∵，∴当＝时，tᦙn‸香ᦙ，∴ǡᦙ；ᦙ㘶当时，由题意tᦙ香ᦙ，解得ᦙ，‸‸香ᦙ㘶综上：实数的取值集合为ȁ．‸19.）当ǡg，则香ng，则ሺ香ݔ＝香香香，∵ሺݔ为奇函数，∴ሺ香ݔሺ香＝香香香＝ݔ，试卷第5页，总7页 即ሺݔ＝tt，ǡg．tt㔱香㔱香ᦙሺݔ，䁞ሺtݔ香ᦙ㔱ሺ香ᦙ㔱则对应的图象如图：由图得ሺݔ香㔱香ሺ间区减调单，ݔ㔱香ሺ为间区增调单ݔ，值域为香㔱．20.函数ሺݔ㔱香ሺ域义定是ݔ上的奇函数，t理由如下，香任取ሺ香㔱ݔሺ香香ݔ香ሺ有，ݔ，ሺ香ݔtt所以ሺݔ是定义域ሺ香㔱ݔ上的奇函数；分证明：设ᦙ，为区间ሺ香㔱ݔ上的任意两个值，且ᦙǡ，则ᦙሺ香ᦙݔ香ᦙሺݔሺᦙݔtሺݔtሺݔtሺ香ݔtሺݔሺ香ݔ；…㈵分ᦙᦙ因为香ǡᦙǡǡ，所以香ᦙng，ᦙ香ǡg，即ሺᦙݔሺ香ݔǡg；所以函数ሺݔ在ሺ香㔱ݔ上是增函数；ᦙg分因为ሺݔ为奇函数，所以由ሺtݔ香ᦙሺtݔng，得ሺtݔᦙ香ሺ＝ݔ香ᦙሺ香nݔ，又因为函数ሺݔ在ሺ香㔱ݔ上是增函数，香ǡtǡ所以香ǡ香ᦙǡ；…ᦙ‸分tn香ᦙ香ǡǡgᦙ‸解得香ǡǡ，ǡ‸ᦙ即实数的取值范围是ሺ香㔱gݔ．…ᦙ分．试卷第6页，总7页 21.设投资为万元，产品的利润为ሺݔ万元，产品的利润为ሺݔ万元由题意知ሺݔሺ，ᦙ＝ݔ，ᦙ由图可知ሺݔሺᦙ㔱ᦙݔ㔱，ᦙ从而ሺݔgሺݔሺ㔱ݔgሺݔ．设产品投入万元，则产品投入ሺᦙg香ݔ万元，设企业利润为万元．ᦙ则ሺݔgᦙgሺ香gᦙtݔ香gᦙሺtݔ，ᦙg香ᦙ令ᦙg香，则t香ሺ香ݔgᦙgሺ㘶tݔ，当＝时，max＝㘶，此时＝ᦙg香＝（万元），答：当产品投入万元，产品投入万元时，企业获得最大利润为㘶万元．22.由已知ሺgݔ＝g，ሺᦙݔ＝g，∴＝ᦙ，＝g．ᦙ由已知可得ሺݔ＝t香，ᦙ所以ሺlnݔ香lng在㔱上恒成立可化为lnt香ln，lnᦙᦙᦙ化为ᦙtሺݔ香，令，则香tᦙ，lnlnlnᦙ因㔱，故㔱ᦙ，ᦙ记ሺݔሺ故，ᦙ㔱为因，ᦙt香＝ݔmin＝g，所以的取值范围是ሺ香㔱g．（1）原方程可化为ȁ香ᦙȁ香ሺ‸tݔȁ香ᦙȁtሺtᦙݔ＝g，令ȁ香ᦙȁ＝则ሺg㔱tݔᦙtሺtݔt‸ሺ香∴ݔ＝g有两个不等实根，ᦙ且gǡᦙǡᦙ，＝ᦙ或gǡᦙǡᦙ，nᦙ，tᦙngሺᦙݔ香gtᦙng记ሺݔᦙtሺtݔt‸ሺ香＝ݔ则或‸tሺᦙݔ香ǡggǡǡᦙ两不等式组解集分别为与ሺg㔱tݔ，∴的取值范围是ሺg㔱tݔ．试卷第7页，总7页