2020-2021学年山东省泰安市肥城市高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年山东省泰安市肥城市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.若直线的倾斜角＝，则其斜率＝（）A.B.C.D.2.如图，已知平行六面体ܤܥܤܥ，点是的中点，下列结论中错误的是（）A.B.C.D.3.圆‴㈵⸲⸲㈵⸲的圆心坐标、半径分别是（）A.⸲䁞、B.⸲䁞、C.⸲䁞、D.䁞⸲、4.已知直线：，则直线经过哪几个象限（）A.一、二、三象限B.一、二、四象限C.二、三、四象限D.一、三、四象限5.若两异面直线与⸲的方向向量分别是＝䁞䁞，＝䁞䁞，则直线与⸲的夹角为（）A.B.C.⸲D.6.已知⸲䁞，ܤ䁞，若点‴䁞在线段ܤ上，则⸲‴的最小值为（）A.B.C.D.7.如图，梯形ܤܥ中，ܤܥ，ܤ＝⸲ܥ，点为空间内任意一点，＝，试卷第1页，总13页,＝，＝，向量＝‴㈵㈵，则‴，，分别是（）A.，，⸲B.C.D.8.圆‴⸲㈵⸲‴＝和圆‴⸲㈵⸲‴㈵＝交于，ܤ两点，则两圆公共弦的弦长ܤ为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。)9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线，⸲的方向向量分别是＝⸲䁞䁞，＝⸲䁞䁞，则⸲B.直线的方向向量＝䁞䁞⸲，平面的法向量是＝䁞䁞，则C.两个不同的平面，的法向量分别是＝⸲䁞⸲䁞，＝䁞䁞⸲，则D.直线的方向向量＝䁞䁞，平面的法向量是＝䁞䁞，则10.直线‴㈵㈵⸲＝分别与‴轴，轴交于，ܤ两点，点在圆‴⸲⸲㈵⸲＝⸲上，则ܤ面积的可能取值是（）A.B.⸲C.D.11.在正方体ܤܥܤܥ中，点，，分别为棱ܥ，ܥܥ，ܤ的中点．则下列结论正确的是（）A.B.ܥC.ܤ平面ܤD.和ܤܤ所成角为试卷第2页，总13页,12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，ܤ的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系‴中，已知䁞⸲，ܤ⸲䁞⸲，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（）A.圆的方程是‴⸲㈵⸲⸲＝B.过点向圆引切线，两条切线的夹角为C.过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为⸲，该直线斜率为D.在直线＝⸲上存在异于，ܤ的两点ܥ，，使得三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。)13.平面的一个法向量是＝⸲䁞⸲䁞，点䁞䁞在平面内，则点⸲䁞䁞到平面的距离为________．14.已知两条平行直线‴㈵＝与⸲‴㈵＝间的距离为，则的值为________．15.如图，已知平面ܤ，＝ܤ＝ܤ＝，ܤ＝⸲，则线段长为________．16.已知点是直线＝⸲‴⸲上的动点，过点作圆：‴⸲㈵⸲＝的切线，ܤ，切点为，ܤ，则当四边形ܤ的面积最小时，直线ܤ的方程为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.求经过直线‴㈵，⸲⸲‴㈵的交点，且满足下列条件的直线的方程．（1）经过点䁞；（2）与直线⸲‴㈵㈵平行；（3）与直线⸲‴㈵㈵垂直．试卷第3页，总13页,18.已知空间中的三点⸲䁞䁞⸲，䁞䁞⸲，䁞䁞，设＝，＝．（1）若+与⸲互相垂直，求的值；（2）求点到直线的距离．19.条件①：图中tanܤ＝⸲．条件②：图中．条件③：图⸲在三棱锥ܤܥ的底面ܤܥ中，ܥܤܥ，ܤܥ＝．从以上三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并加以解答．如图所示，在ܤ中，ܤ＝，ܤ＝，过点作ܥܤ，垂足ܥ在线段ܤ上，沿ܥ将ܤܥ折起，使ܤܥ＝（如图⸲），点为棱的中点．已知_____，在棱ܥ上取一点，使得＝ܥ，求锐二面角ܤ的余弦值．20.已知在平面直角坐标系‴中，点䁞，直线＝⸲‴．圆的半径为，圆心在直线上．（1）若直线‴㈵⸲＝与圆相切，求圆的标准方程；（2）已知动点‴䁞，满足＝⸲，说明的轨迹是什么？若点同时在圆上，求圆心的横坐标的取值范围．21.如图所示多面体中，ܥ平面ܥ，四边形ܤܥ为平行四边形，为ܥ的中点，为线段ܤ上一点，ܥ＝⸲，ܥ＝，＝，ܥ＝⸲．（1）若为ܤ的中点，证明：平面ܥ；（2）若，求直线与平面ܤ所成角的正弦值．22.已知点，ܤ关于原点对称，点在直线‴㈵＝上，ܤ＝⸲，圆过点，ܤ且与直线‴㈵＝相切，设圆心的横坐标为．试卷第4页，总13页,（1）求圆的半径；（2）已知点䁞，当ᦙ⸲时，作直线与圆相交于不同的两点，，已知直线不经过点，且直线，斜率之和为，求证：直线恒过定点．试卷第5页，总13页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省泰安市肥城市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C2.B3.C4.D5.B6.A7.C8.A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9.A,C10.B,C,D11.A,D12.A,B,D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.14.或⸲15.⸲16.⸲‴㈵㈵＝四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‴㈵＝‴＝17.由，求得，可得直线‴㈵，⸲⸲‴㈵⸲‴㈵＝＝⸲的交点䁞⸲．⸲‴㈵∵直线还经过点䁞，故它的方程为，即‴⸲㈵．⸲㈵根据所求直线与直线⸲‴㈵㈵平行，可设它的方程为⸲‴㈵㈵ݕ，再把点䁞⸲代入，可得⸲㈵⸲㈵ݕ得求，ݕ，故所求的直线的方程为⸲‴㈵．根据所求直线与直线⸲‴㈵㈵垂直，可设它的方程为‴⸲㈵ݕ，再把点䁞⸲代入，可得㈵ݕ得求，ݕ，故所求的直线的方程为‴⸲㈵．试卷第6页，总13页,18.可得+＝，，⸲，，，因为+）），所以有㈵⸲㈵⸲＝，整理得⸲⸲㈵＝，解得＝或＝-，所以的值为＝或＝．设直线的单位方向向量为，则，由于＝＝，，所以＝•＝-，所以点到直线的距离＝．19.方案一：选①在图所示的ܤ中，设ܥ＝ܥ＝‴，，解得‴＝．以点ܥ为原点，建立如图所示，的空间直角坐标系ܥ‴，则ܥ，，ܤ，，，⸲，，，，∴．由＝ܥ，可得，．取平面ܤ的一个法向量＝‴，，由，得，令‴＝，则，，．取平面ܤ的一个法向量＝，，∴＝＝＝试卷第7页，总13页,，∴锐二面角ܤ的余弦值为．方案二：选②在图所示的ܤ中，由，得，即．因为ܤ＝⸲，ܥ＝⸲ܤܥ，ܤܥ＝，以点ܥ为原点，建立如图所示的空间直角坐标系ܥ‴，则ܥ⸲䁞䁞，，，⸲，，，⸲，，∴．由＝ܥ，可得，．取平面ܤ的一个法向量＝‴，，由，得，令‴＝，则，，．取平面ܤ的一个法向量＝，⸲，∴＝＝＝，∴锐二面角ܤ的余弦值为．方案三：选③图⸲在三棱锥ܤܥ的底面ܤܥ中，设ܤܥ＝‴ᦙ‴ᦙ，所以，解得‴＝或‴＝．又因为ܥܤܥ，所以ܥ＝⸲．以点ܥ为原点，建立如图所示的空间直角坐标系ܥ‴，则ܥ䁞䁞，，，⸲，，⸲，⸲，，，∴．试卷第8页，总13页,由＝ܥ，可得，．取平面ܤ的一个法向量＝‴，，由，得，令‴＝，则＝，．取平面ܤ的一个法向量＝，，∴＝＝＝，∴锐二面角ܤ的余弦值为．20.因为圆心在直线上，所以圆心可设为，由题意可得，即⸲＝，由⸲＝⸲，解得＝或＝，圆心的坐标为䁞或，所以圆的标准方程为‴㈵⸲⸲＝或＝．试卷第9页，总13页,由＝⸲，得＝，化简得：‴㈵⸲㈵⸲＝，即‴⸲㈵㈵⸲＝，所以动点的轨迹是以ܥ䁞为圆心，若点同时在圆上，则圆与圆ܥ有公共点，则⸲ܥ⸲㈵，即，整理得，解得，所以圆心的横坐标的取值范围为．21.以ܥ所在直线为‴轴，过ܥ点且与平面ܤܥ垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则ܥ䁞䁞，，，，，，，，∴，设‴䁞䁞，，∴，则，设平面ܤ的法向量为＝‴，，则，即，取＝得，∴，∴与平面ܤ所成角的正弦值为．（解法二）证明：（1）以ܥ所在直线为‴轴，过ܥ点且与平面ܤܥ垂直的直线为轴，则ܥ，，⸲，，ܤ⸲，，，，，试卷第10页，总13页,因为为ܥ的中点，为ܤ的中点．直线的方向向量，取平面ܥ的一个法向量＝，，因为，即，所以平面ܥ．，设‴䁞䁞，，∴，则，设平面ܤ的法向量为＝‴，，则，即，取＝得，∴，∴与平面ܤ所成角的正弦值为．试卷第11页，总13页,22.∵圆过点，ܤ，∴圆心在ܤ的垂直平分线上，由已知点在直线‴㈵＝上，且点，∴点在直线＝‴上，则点的坐标为．∵圆与直线‴㈵＝相切，∴圆的半径为㈵，连接，由已知得＝，又，故可得，整理得：⸲⸲＝，解得＝或＝⸲，故圆的半径为＝或＝．证明：∵ᦙ，∴＝⸲㈵＝．设点‴䁞⸲，‴⸲䁞⸲，当直线的斜率存在时，设直线＝‴㈵ݕݕ，联立方程组，消去得⸲㈵‴⸲㈵⸲ݕ㈵‴ݕ⸲＝．则．∵＝＝．又∵直线，斜率之和为，∴，得ݕ＝⸲．代入＝‴㈵ݕ，得＝‴＝‴⸲，试卷第12页，总13页,∴直线恒过定点⸲䁞．当直线的斜率不存在时，‴＝‴，⸲＝，．∵直线，斜率之和为，∴，但ᦙ‴ᦙ，且‴，故不合题意．综上，直线恒过定点⸲．试卷第13页，总13页