2020-2021学年山东省菏泽市高二（上）期中数学试卷（B卷）

2020-2021学年山东省菏泽市高二（上）期中数学试卷（B卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知向量ሺെെ，ሺെെ，则ሺA.B.െC.െD.2.设平面的法向量为ሺെ，平面的法向量为ሺ，若，则＝（）A.B.C.D.3.已知ሺെ，ሺ䁞䁞െ，若，则䁞的值为（）A.B.C.D.4.若点ሺെ在圆：ሺ쳌ሺെ＝䁞内部，则实数䁞的取值范围是（）A.ሺB.C.ሺD.쳌5.已知椭圆െ的焦距是，则䁞的值是（）䁞A.B.或C.或D.6.两直线െ쳌＝，쳌＝，则直线െ关于直线对称的直线方程为（）A.쳌＝B.쳌െ＝C.쳌＝D.쳌＝7.如图所示，是二面角䁠棱上的一点，分别在，平面内引射线，，如果䁠＝䁠＝＝，设二面角䁠的大小为，则cos＝（）െA.െB.C.D.8.已知矩形䁠形，为平面䁠形外一点，且平面䁠形，，分别为，形上的点，且，形，쳌䁠形，则쳌＝（）试卷第1页，总9页,A.B.C.െD.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分．)9.在平行六面体䁠形䁠形中，与向量䁠相等的向量有（）A.形B.䁠C.形D.䁠10.已知平面过点ሺെെ，其法向量ሺെ，则下列点不在内的是（）A.ሺB.ሺC.ሺെD.ሺെ11.已知直线െ쳌＝，쳌＝，当，满足一定的条件时，它们的图形可以是（）A.B.C.D.쳌12.已知椭圆െ的左、右焦点分别为、，直线쳌＝䁞ሺെ䁞െ与椭圆相交于点、䁠，则（）A.椭圆的离心率为B.存在䁞，使䁠为直角三角形试卷第2页，总9页,C.存在䁞，使䁠的周长最大D.当䁞＝时，四边形䁠面积最大三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．)13.化简䁠形䁠形________．쳌14.已知ሺ是椭圆െ的右焦点，且过点ሺെ，则椭圆的离心率为________．15.已知直线쳌＝与圆쳌＝相交于，䁠两点（为坐标原点），且䁠为等边三角形，则实数＝________．16.如图，水平桌面上放置一个棱长为的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面形形െെ有一个小孔，点到形的距离为，若该正方体水槽绕形倾斜（形始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面形形െെ与桌面所成的角正切值为________．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.已知直线െ斜率为，在轴上的截距为；直线过定点ሺെ，ሺ．（1）求直线െ，的方程；（2）求െ，的交点的坐标，并求点到坐标原点的距离．18.在长方体䁠形െ䁠െെ形െ中，䁠＝形＝，െ＝，点在െെ上，െ＝െ，在形െ上且为形െ中点．（1）求、两点间的距离；（2）判断直线与直线䁠形െ是否垂直，并说明理由．19.已知圆经过点ሺെ，且圆心在直线＝쳌上，直线쳌＝െ与圆相切．（1）求圆的方程；（2）已知斜率为െ的直线经过原点，求直线被圆截得的弦长．20.已知椭圆的焦点在쳌轴上，左顶点为ሺ，离心率为．试卷第3页，总9页,（1）求椭圆的方程；（2）斜率为െ的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值．21.在四棱锥䁠形中，平面形平面䁠形，底面䁠形为直角梯形，䁠െ形，形＝，䁠形形െ，为线段形的中点，过䁠的平面与线段形，分别交于点，．（1）求证：平面形；（2）若形，点为形的中点，求直线䁠与平面䁠所成角的正弦值．22.已知圆쳌＝和定点ሺെ，平面上一动点满足以线段为直径的圆内切于圆，动点的轨迹记为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线＝ሺ쳌ሺ与曲线交于不同两点，，直线，分别交轴于，两点．求证：＝．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省菏泽市高二（上）期中数学试卷（B卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.B2.C3.D4.A5.C6.D7.D8.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分．9.B,C10.B,C,D11.A,C12.B,D三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.14.15.．16.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.由题意知，直线െ的方程为＝쳌，即쳌＝．设直线的斜率为，则െ，െ所以的方程为＝쳌െ，即쳌＝．试卷第5页，总9页,쳌쳌联立，求得，쳌可得交点坐标为ሺ，所以ሺሺ．18.建立如图所示空间直角坐标系쳌，ሺ，䁠ሺ，ሺ，െሺ，െሺ，形െሺ，െ因为െ＝െ，所以െെെ，得ሺ．又为形െ中点，所以ሺെ，所以ሺെሺሺ；െሺ，䁠形െሺ，െ所以䁠形െሺሺ，䁠形െ，所以直线与直线䁠形െ不垂直．19.设圆心的坐标为ሺ，െ则ሺሺെ，化简，得െ＝，解得＝െ，所以ሺെ，半径＝ሺെሺെ，所以圆的方程为ሺ쳌െሺ＝．直线的方程为＝쳌，设圆心到直线的距离为，െሺ则，设弦长为，得ሺ，所以直线被圆截得的弦长为．쳌20.设椭圆的方程为െሺ．由题意左顶点为ሺ，＝，离心率为．试卷第6页，总9页,解得，所以＝＝െ，쳌所以椭圆的方程为＝െ．设，两点的坐标分别为ሺ쳌െെ，ሺ쳌，直线的方程为＝쳌ㄠ，쳌െ由쳌，െ消去，得쳌ㄠ쳌ሺㄠെ＝，ሺㄠെ则쳌െ쳌ㄠ，쳌െ쳌，，得ㄠ，所以െ쳌െ쳌െሺ쳌െ쳌쳌െ쳌ㄠെሺㄠെㄠ，െ因为ㄠ，所以当ㄠ＝时，max．െ21.因为䁠形，且为线段形的中点，所以䁠＝形，又因为䁠形，所以四边形䁠形为平行四边形，所以䁠形，又因为形平面形，䁠平面形，所以䁠平面形，又平面䁠平面形＝，所以䁠，又䁠形，且平面形平面䁠形，平面形平面䁠形＝形，所以䁠平面形，所以平面形．因为＝形，为线段形的中点，所以形，又因为平面形平面䁠形，所以平面䁠形，试卷第7页，总9页,以为坐标原点，的方向为쳌轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系쳌；则ሺെ，䁠ሺെ，ሺ，形ሺെ，െെ则䁠ሺെെ，䁠ሺെ，形ሺെെ，ሺ，െെ所以ሺ，设平面䁠的法向量为ሺ쳌ݔݔ，䁠则，即െെ쳌不妨令쳌＝，可得ሺ为平面䁠的一个法向量，设直线䁠与平面䁠所成角为，䁠െ于是有sincos䁠；䁠െ所以直线䁠与平面䁠所成角的正弦值为．22.设以线段为直径的圆的圆心为，取ሺെ．依题意，圆内切于圆，设切点为形，则，，形三点共线，因为为的中点，为中点，所以＝．所以＝＝形＝形＝＝，所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，쳌设其方程为െሺ，则＝，＝，所以＝，＝െ，所以＝＝，쳌所以动点的轨迹方程为െ；证明：设ሺ쳌െെ，ሺ쳌，ሺ쳌由，쳌െ得ሺ쳌쳌െ＝，ሺሺെ，即െ依题意＝ሺ，െ쳌െ쳌，쳌െ쳌，െሺ쳌െሺ쳌쳌െ쳌ሺ쳌െ쳌为쳌െെ쳌െ쳌െെ쳌െሺ쳌െെሺ쳌െെሺሺ，ሺ쳌െെሺ쳌െ所以直线倾斜角与直线倾斜角互补，即＝．因为，所以＝．试卷第8页，总9页,试卷第9页，总9页