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2020-2021学年浙江省杭州市某校西溪校区高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年浙江省杭州市某校西溪校区高二(上)期中数学试卷
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2020-2021学年浙江省杭州市某校西溪校区高二(上)期中数学试卷一、选择题:每小题4分,共40分)1.已知直线땈ٱʚ嫰=的倾斜角为,则sin=()嫰嫰嫰A.B.C.D.嫰嫰2.设,则“=嫰”是“直线嫰땈ʚ=与直线땈ʚʚ嫰ܽʚ=平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.圆땈ʚٱ땈ʚ=关于直线땈对称的圆的方程是()A.땈ٱʚ땈.B嫰=ܽ嫰ٱʚܽٱܽ=嫰C.땈ʚٱʚܽ嫰ٱ땈.D嫰=ܽ嫰ٱܽ=嫰4.设,表示不同直线,,,表示不同平面,下列叙述正确的是()A.若,,则B.若,,,则C.若㐠,㐠,则D.若㐠,㐠,则5.将半径为,圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥,则该圆锥的体积为()A.B.C.D.ٱ嫰6.已知땈䁪ܽ为半圆:땈ٱܽʚٱ嫰ܽ=嫰嫰ܽ上一动点,则最大值为()땈嫰A.B.C.D.7.如图,、分别为边长为嫰的正方形正形的边正、形的中点,将正方形沿对角线折起,使点形不在平面正内,则在翻折过程中,以下结论错误的是()A.平面正形B.异面直线与正形所成的角为定值C.存在某个位置,使得直线形与直线正垂直试卷第1页,总9页,D.三棱锥ٱ体积的最大值为8.在三棱锥ٱ正中,㐠平面正,正=,形,分别是正,正的中点,正,且形.设与形所成角为,形与平面正所成角为,二面角ٱ正ٱ为,则()A.B.C.D.9.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线땈ʚ嫰ʚ땈就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线恰好经过个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线上任意一点到原点的距离都不超过;③曲线所围成的“心形”区域的面积小于.其中,所有正确结论的序号是()A.①B.②C.①②D.①②③10.如图,在三棱柱正ٱ嫰正嫰嫰中,正,,嫰两两互相垂直,正==嫰,,是线段正正嫰,嫰上的点,平面与平面正所成(锐)二面角为,当正嫰最小时,正=()A.B.C.D.嫰二、填空题:单空题每题4分,多空题每题6分)11.如图,网格纸上的小正方形的边长为嫰,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几试卷第2页,总9页,何体的体积为________;表面积为________.12.已知圆땈ʚ=与圆땈ʚٱ땈ʚʚ=外切,则=________;嫰此时直线땈ʚ=被圆所截的弦长为________.13.已知圆圆心是原点,半径是,点,正是圆上的相异两点,点坐标是䁪ܽ,若正最大值是,且此时正面积是,则=________;=________.14.已知正是面积为的等边三角形,且其顶点都在球的球面上.若球的表面积为嫰,则球的体积为________;到平面正的距离为________.15.已知圆땈ʚ=及一点ٱ嫰䁪ܽ,在圆上运动一周,的中点形成嫰轨迹的方程为________땈ʚܽʚ嫰.16.已知圆的方程是땈ʚٱʚ땈线直,点为心圆,=ٱ=与圆交嫰于、正两点,当正面积最大时,=________.17.已知正方体正形ٱ嫰正嫰嫰形嫰中,为正的中点,在平面嫰正嫰嫰形嫰内,直线正嫰形嫰,设二面角ٱٱ的平面角为,当取最大值时,cos=________.三、解答题:5小题,共74分)18.如图,在直三棱柱正ٱ嫰正嫰嫰中,形,分别为正,的中点,正=正.求证:(1)嫰正嫰平面形嫰;(2)正㐠嫰.19.已知定点䁪嫰ܽ、正䁪ٱ嫰ܽ、嫰䁪ܽ,动点满足:正香香ܽ.试卷第3页,总9页,(1)求动点的轨迹方程,并说明方程表示的图形;(2)当香=时,求ʚ正的最大值和最小值.20.正中,正,正=,,分别是边正,上的点,且正,㐠正于,=,将沿折起,沿到达,此时满足面㐠面正.(1)若,求直线正与面正所成角大小;正(2)若,分别为正,中点,求锐二面角ٱ正ٱ的余弦值;(3)在(2)的条件下,求点正到面的距离.21.在四棱锥ٱ正形中,形正,正=嫰,形=,正=,正=,形,㐠形.(1)求证:形㐠面;(2)已知点为正中点,点在底面正形上的射影为,直线与平面正形所成角的余弦值为,当三棱锥ٱ形的体积最大时,求异面直线正与所成角的余弦值.22.在平面直角坐标系땈中,圆땈ʚ=与땈轴的正半轴交于,以为圆心的圆:땈ٱܽʚ=ܽ与圆交于正,两点.试卷第4页,总9页,(1)求正的最小值;(2)设是圆上异于正,的任一点,直线正,与땈轴分别交于点,,求的最大值.试卷第5页,总9页,参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省杭州市某校西溪校区高二(上)期中数学试卷一、选择题:每小题4分,共40分1.C2.A3.D4.D5.D6.A7.C8.A9.C10.B二、填空题:单空题每题4分,多空题每题6分11.,ʚ12.嫰,13.,嫰14.,嫰嫰15.땈ʚܽʚ嫰16.嫰或17.嫰三、解答题:5小题,共74分18.∵在直三棱柱正ٱ嫰正嫰嫰中,形,分别为正,的中点,∴形正,正嫰正嫰,∴形嫰正嫰,∵形平面形嫰,嫰正嫰平面形嫰,∴嫰正嫰平面形嫰.∵在直三棱柱正ٱ嫰正嫰嫰中,是的中点,正=正.∴正㐠,∵直三棱柱正ٱ嫰正嫰嫰中,嫰㐠平面正,正平面正,∴正㐠嫰,又嫰=,∴正㐠平面嫰嫰,∵嫰平面嫰嫰,∴正㐠嫰.试卷第6页,总9页,19.设动点的坐标为땈䁪ܽ,则땈䁪ٱ嫰ܽ䁪正땈䁪ʚ嫰ܽ,嫰ٱ땈䁪ٱܽ,∵正香,∴땈ʚٱ嫰=香ሾ땈ٱʚ,即香ٱܽٱ香ʚ땈ܽ嫰ٱ香땈ʚ香ʚ嫰=若香=嫰,则方程为땈=嫰,表示过点嫰䁪ܽ且平行于轴的直线;香嫰香嫰若香嫰,则方程为땈ʚܽʚ=ܽ,表示以䁪ܽ为圆心,以为半径的嫰ٱ香嫰ٱ香嫰ٱ香嫰ٱ香圆;ܽ当香=时,方程化为땈ٱܽʚ=嫰,ʚ正땈䁪ܽ=땈ʚ令땈=ʚcos,=sin,则ʚ正ʚcos∴当cos=嫰时,ʚ正的最大值为,当cos=ٱ嫰时,ʚ正的最小值为.20.∵正,正=,正,㐠正,∴为正的中点,=正=嫰,ٱ,㐠,∴㐠,又平面㐠平面正,平面平面正=,∴㐠平面正,则正为直线正与面正所成角,若,由正,得,∴,,正正=,又正ʚ正ܽʚ嫰,∴tan正嫰,又正是锐角,∴正=,正故直线正与面正所成角大小为;以为坐标原点,分别以、、所在直线为땈、、轴建立空间直角坐标系,嫰∵,分别为正,中点,则正=嫰,==嫰,嫰嫰䁪ٱ正,ܽ䁪ٱ䁪嫰正,ܽ嫰䁪䁪,ܽ䁪嫰ٱ䁪嫰正,ܽ䁪ٱ嫰䁪嫰䁪嫰ܽ,设平面正的一个法向量为땈䁪䁪ܽ,嫰正땈ٱ由,取=,得嫰䁪䁪ٱ嫰ܽ;正ٱ땈ʚʚ试卷第7页,总9页,平面正的一个法向量䁪䁪嫰ܽ,ٱ嫰cos䁪ٱ,嫰∴锐二面角ٱ正ٱ的余弦值为;嫰嫰由(2),嫰䁪嫰䁪ܽ,䁪䁪ܽ,嫰䁪䁪ܽ,ٱ嫰䁪ٱ嫰䁪嫰ܽ,设平面的一个法向量为땈嫰䁪嫰䁪嫰ܽ,嫰땈嫰ʚ嫰则,取땈=嫰,得嫰䁪ٱ䁪ٱ嫰ܽ,嫰ٱ嫰땈ٱ嫰ʚ嫰又正䁪ٱ䁪ܽ,正∴点正到面的距离为正cos正䁪.21.证明:过正作正㐠形于,∵形正,正=嫰,形=,正=,∴正=,正=,=嫰,形==正,∴四边形正形为矩形,∴正=形,=嫰,正=,∴形=,=,∴ʚ形=形,即㐠形,又㐠形,=,、平面,∴形㐠面.由(1)知,形㐠面,∵形平面正形,∴平面正形㐠面,试卷第8页,总9页,∵㐠平面正形,平面正形面=,∴点在上,∵直线与平面正形所成角的余弦值为,∴cos,tan,设=땈,则=ٱ땈,=tan땈,嫰嫰嫰三棱锥ٱ땈ܽ땈ٱ땈形积体的形ٱ땈ܽ,∴当땈时,三棱锥ٱ形的体积取得最大值,此时点为的中点,∴正=嫰,,∵为正的中点,∴正,∴正即为直线正与所成角.∵正ʚ正,ʚ,正ʚ正ٱʚٱ在正中,由余弦定理知,cos正,正正嫰故异面直线正与所成角的余弦值为.嫰22.由对称性,设正땈䁪ܽ,땈䁪ٱܽ,则땈ʚ=,所以正땈ٱܽ嫰ٱ땈=ܽ땈ٱٱܽٱ땈=ٱܽٱ,因为ٱ땈,所以当땈=嫰时,正取得最小值为ٱ.设땈䁪ܽܽ,则땈ʚ=,嫰嫰嫰嫰嫰ٱٱ嫰ٱ嫰直线正、的方程分别为正ٱ땈嫰ٱ,ܽ嫰땈ٱ땈嫰ٱ땈嫰ܽ,땈ٱ땈嫰땈ٱ땈嫰땈嫰ٱ땈嫰땈嫰ʚ땈嫰分别令=,得땈,땈,ٱ嫰ʚ嫰땈嫰ٱٱܽٱ嫰땈ٱܽ嫰嫰所以땈땈ٱٱ,嫰嫰嫰嫰于是嫰땈땈嫰嫰,因为ٱ=嫰或=嫰当以所,嫰ٱ时,取得最大值为.试卷第9页,总9页
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高中 - 数学
发布时间:2021-09-05 21:23:33
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文章作者: 真水无香
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