2020-2021学年浙江省杭州市某校高三（上）期中数学试卷
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2020-2021学年浙江省杭州市某校高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A={x|y=lg(x+1)}，B={x||x|<2}，则A∩B=( )A.(-2, 0)B.(0, 2)C.(-1, 2)D.(-2, -1)2.已知a，b∈R，则“a>|b|”是“|a|>|b|”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知实数x，y满足y≥0x-y≥1x+2y≤4 ，则该不等式组所表示的平面区域的面积为（）A.12B.32C.2D.34.设函数f(x)＝xln1+x1-x，则函数f(x)的图象可能为（）A.B.C.D.5.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π)的部分图象如图所示，则（）A.f(x)＝3sin(x2+π3)B.f(x)＝3sin(x2+2π3)C.f(x)＝32sin(x+π3)D.f(x)＝32sin(x+2π3)6.如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的最大值为（）试卷第11页，总11页, A.B.C.D.47.设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝-f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”，下列为“H函数”的是（）A.y＝sinxcosx+cos2xB.y＝lnx+exC.y＝2xD.y＝x2-2x8.从，1，2，3…，20中选取四元数组(a1, a2, a3, a4)，且满足a2-a1≥3，a3-a2≥4，a4-a3≥5，则这样的四元数组(a1, a2, a3, a4)的个数是（）A.B.C.D.9.已知函数f(x)＝|x2+ax-2|-6，若存在a∈R，使得f(x)在[2, b]上恰有两个零点，则实数b的最小值为（）A.2B.C.2+2D.2+210.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，点E，F分别是棱CD，BC上的动点，且BF＝2CE．当三棱锥C-C'EF的体积取得最大值时，记二面角C-EF-C'，C'-EF-A'，A'-EF-A的平面角分别为α，β，y，则（）A.α>β>γB.α>γ>βC.β>α>γD.β>γ>α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)11.已知复数z满足z(3-i)＝10，则复数z的虚部等于________，复数z的模等于________．12.在二项式(x2-1x)5的展开式中，二项式系数之和是________，含x4的项的系数是________．13.已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，若E(X)＝，D(X)＝，则p＝________；P(X＝1)＝________．14.已知数列{an}满足n⋅an-(n-1)⋅an+1＝2(n∈N*)，则a1＝________；设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，当n≠5时，都有Sn<s5，则s5的取值范围为________．试卷第11页，总11页, 15.="">0，a-b2＝1，则+的最小值为________．16.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝1，点M，N分别是边AD，BC的中点，延长BA和CD交NM的延长线于不同的两点P，Q，则PQ→⋅(AB→-DC→)的值为________．17.设a，b是正实数，函数f(x)＝xlnx，g(x)＝-+xlna，若存在x0∈[，b]，使f(x0)≤g(x0)成立，则的取值范围为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC+ccosA-2bsinB＝0．（1）求角B；（2）若角B为锐角，sin＝，BC边上中线长AD＝，求△ABC的面积．19.已知四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD为菱形，AB＝2，AA'＝4，∠BAD＝60∘，E为BC中点，C'在平面ABCD上的投影H为直线AE与DC的交点．（1）求证：BD⊥A'H；（2）求直线BD与平面BCC'B'所成角的正弦值．20.已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝4，an+1＝3Sn+4(n∈N*)．（1）求数列{an}的通项公式；试卷第11页，总11页, （2）设数列{bn}满足anbn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<．21.已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与C相交于A、B两点，当直线l的倾斜角为时，|AB|＝8．（1）求C的方程；（2）若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．22.函数，g(x)＝ax+b．（1）若函数h(x)＝f(x)-g(x)在(0, +∞)上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g(x)＝ax+b是函数图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b＝0时，若f(x)与g(x)的图象有两个交点A(x1, y1)，B(x2, y2)，试比较x1x2与2e2的大小．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4)试卷第11页，总11页, 参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省杭州市某校高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.A3.B4.B5.B6.A7.B8.B9.10.A二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.1,12.32,1013.,14.2,(5, 6)15.416.017.（，]三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.因为acosC+ccosA-2bsinB＝0，所以由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA-2sinBsinB＝0，所以sin(A+C)-2sinBsinB＝0，可得sinB(1-2sinB)＝0，又因为sinB≠0，所以sinB＝，因为B为三角形内角，所以B＝，或．若角B为锐角，由（1）可得B＝，因为cosA＝1-2sin2＝1-2（）2＝，因为试卷第11页，总11页, A，所以A＝，所以△ABC为等腰三角形，且C＝，在△ABC中，设AC＝BC＝2x，在△ADC中，由余弦定理可得AD2＝AC2+DC2-2AC⋅DC⋅cos＝7x2＝7，解得x＝1，所以AC＝BC＝2，所以S△ABC＝AC⋅BC⋅sinC＝，所以三角形的面积为．19.证明：连接A'C'，∵AA' // CC'，AA'＝CC'，∴四边形ACC'A'是平行四边形，∴AC // A'C'，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴BD⊥A'C'，∵C'H⊥平面ABCD，∴C'H⊥BD，又C'H∩A'C'＝C'，∴BD⊥平面A'C'H，又A'H⊂平面A'C'H，∴BD⊥A'H．∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∵AB // CH，∴∠CHE＝∠BAE，又∠CEB＝∠BEA，∴△ABE≅△BCE，∴BC＝AB＝2，又CC'＝4，C'H⊥CH，∴C'H＝＝2，以H为原点，以HD为x轴，以HC'为z试卷第11页，总11页, 轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，则D(4, 0, 0)，C(2, 0, 0)，B(3，，0)，C'(0，0，2），∴＝(1，-，0)，＝(-1，-，0)，＝(-2，0，2），设平面BCC'B'的法向量为＝(x, y, z)则，即，令x＝可得＝（，-1，1)，∴cos<，>＝＝＝，∴直线BD与平面BCC'B'所成角的正弦值为．20.各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝4，an+6＝3Sn+4(n∈N*)①．则：an＝2Sn-1+4②，①-②得：an+5＝4an，即：，当n＝1时，解得：a1＝5，所以：．证明：数列{bn}满足anbn＝log2an，所以：，+…+试卷第11页，总11页, ①，则：…+②，①-②得：，＝，解得：．21.设直线l的方程为y＝x-代入y2＝2px，可得x2-3px+＝0，于是|AB|＝x1+x2+p＝4p＝8，可得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；由题意可得l与坐标轴不垂直，所以可设直线l的方程为x＝my+1(m≠0)，代入y2＝4x，可得y2-4my-4＝0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则y1+y2＝4m，y1y2＝-4，所以AB的中点为D(2m2+1, 2m)，|AB|＝4m2+4，又直线l'的斜率为-m，所以直线l'的方程为x＝-y+2m2+3．将上式代入y2＝4x，整理可得y2+y-4(2m2+3)＝0，设M(x3, y3)，N(x4, y4)，则y3+y4＝-，y3y4＝-4(2m2+3)，则MN的中点E的纵坐标为-，所以MN的中点E(2m2++3，-），|MN|＝|y3-y4|＝•＝，由于MN垂直平分AB，所以A，M，B，N四点在同一个圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2+|DE|2＝|MN|2，即4(m2+1)2+(2m+）2+（+2)2＝，化简可得m2-1＝0试卷第11页，总11页, ，解得m＝1或m＝-1，所求直线l的方程为x-y-1＝0或x+y-1＝0．22.：h(x)＝f(x)-g(x)＝lnx--ax-b，则h'(x)＝+-a，∵h(x)＝f(x)-g(x)在(0, +∞)上单调递增，∴对∀x>0，都有h'(x)＝+-a≥0，即对∀x>0，都有a≤+，∵+>0，∴a≤0，故实数a的取值范围是(-∞, 0]；：设切点(x0，lnx0-），则切线方程为y-(lnx0-）＝（+）(x-x0)，即y＝（+）x-（+）x0+(lnx0-），亦即y＝（+）x+(lnx0--1)，令＝t，由题意得a＝t+t2，b＝-lnt-2t-1，令a+b＝φ(t)试卷第11页，总11页, ＝-lnt+t2-t-1，则φ'(x)＝-+2t-1＝，当t∈(0, 1)时，φ'(t)<0，φ(t)在(0, 1)上单调递减；当t∈(1, +∞)时，φ'(t)>0，φ(t)在(1, +∞)上单调递增，∴a+b＝φ(t)≥φ＝-1，故a+b的最小值为-1；(Ⅲ)：由题意知lnx1-＝ax1，lnx2-＝ax2，两式相加得lnx1x2-＝a(x1+x2)，两式相减得ln-＝a(x2-x1)，即+＝a，∴lnx1x2-＝（+）(x1+x2)，即lnx1x2-2×＝ln，不妨令0<x1<x2，记t＝>1，令F(t)＝lnt-(t>1)，则F'(t)＝>0，∴F(t)＝lnt-在(1, +∞)上单调递增，则F(t)>F(1)＝0，∴lnt>，则ln>，∴lnx1x2-2×＝ln>2，∴lnx1x2-2×<lnx1x2-＝＝2ln-，∴2ln->2，即ln-试卷第11页，总11页, >1令G(x)＝lnx-，则x>0时，G'(x)＝+>0，∴G(x)在(0, +∞)上单调递增，又lne-＝ln2+1-≈0.85<1，∴G（）＝ln->1>lne-，则>e，即x1x2>2e2．试卷第11页，总11页</lnx1x2-＝＝2ln-，∴2ln-></x1<x2，记t＝></s5，则s5的取值范围为________．试卷第11页，总11页,>
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