2020-2021学年浙江省绍兴市某校高三（上）期中数学试卷

2020-2021学年浙江省绍兴市某校高三（上）期中数学试卷一、)1.若集合＝ݔ൏൏ݔ＝合集，൏ݔȁݔ，则＝（）A.ȁ䁞൏B.ȁ䁞൏C.香䁞൏D.香䁞൏2.已知复数（为虚数单位），则复数的模＝（）A.ȁB.C.൏D.ݔ൏൏3.已知双曲线൏൏ȁ香䁞香的离心率为൏，且其右焦点为൏൏䁞香，则双曲线的方程为（）ݔ൏൏ݔ൏൏ݔ൏൏ݔ൏൏A.ȁB.ȁC.ȁD.ȁȁ൏ȁ൏൏ݔ4.已知实数ݔ＝则，香ݔ足满，ݔ的最大值为（）香ȁA.B.C.D.൏ȁ5.设ݔ”是”ȁݔ香”则，，ݔ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数的图象可能是（）A.B.试卷第1页，总10页,C.D.7.已知直线ݔ圆与香香ݔ൏൏交于不同的两点，，是坐标原点，且有，那么的取值范围是()A.䁞B.൏䁞C.൏䁞൏൏D.䁞൏൏8.甲箱子里装有个白球和൏个红球，乙箱子里装有൏个白球和൏个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为，摸出的红球的个数为，则（）A.＝ȁ，且B.＝ȁ，且C.＝ȁ＝，且D.＝ȁ＝，且9.在中，香，൏，，点在斜边上，以为棱把它折成直二面角，折叠后的最小值为（）A.B.C.൏൏D.10.已知点是曲线sinݔlnݔ上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则（）A.至少存在两个点使得ȁB.对于任意点都有香C.对于任意点都有ȁD.存在点使得ȁ二、填空题)11.计算：log൏＝________，൏＝________．12.已知多项式ݔ൏ȁݔȁݔȁݔȁݔ＝ݔȁ൏ȁ൏，则＝________，൏＝________．13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．试卷第2页，总10页,14.已知抛物线＝ݔ൏上两点，（在第二象限），为原点，且，则当点距轴最近时，的面积为________．15.平面向量，，满足＝＝ȁ，-＝-＝-，则的最大值为________．16.在中，＝൏，＝，，的中点分别为，，则的取值范围是________．ȁ17.设为数列的前项和，ȁ൏，N，则ȁ________；൏ȁ൏ǤǤǤȁ香香________．三、解答题（共5小题，满分0分）)18.、是单位圆上的动点，且、分别在第一、二象限．是圆与ݔ轴正半轴的交点，为正三角形．记．sin൏sin൏（1）若点的坐标为，．求的值；cos൏cos൏（2）求൏的取值范围．ȁ19.如图，四棱锥中，，，ȁ，ȁ香，൏ȁ，，点为中点．试卷第3页，总10页,（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20.设各项均为正数的数列的前项和为，已知数列是首项为ȁ，公差为ȁ的等差数列．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ令＝，若不等式ǤǤǤ对任意都成立，求实数的取值范围．ȁ൏ݔ൏21.如图，，是椭圆൏＝ȁ的左、右焦点，，是椭圆上的两个动点，ȁ൏൏ȁ且线段的中点在直线ݔ上．൏（1）若的坐标为香䁞ȁ，求点的坐标；（2）求൏൏的取值范围．22.已知ݔ，ȁݔݔ＝ݔ香䁞൏．（1）若ݔ无零点，求的取值范围；试卷第4页，总10页,（2）当＝ȁ时，证明：-ݔݔ൏ȁ．（参考数据：൏）试卷第5页，总10页,参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省绍兴市某校高三（上）期中数学试卷一、1.B2.C3.A4.B5.A6.B7.C8.C9.B10.C二、填空题11.,12.,香13.,14.15.൏16.（，）ȁ17.ȁȁȁȁ൏ȁ香香三、解答题（共5小题，满分0分）18.解：（1）若点的坐标为，，则cos，sin，ȁ൏sin൏sin൏sin൏൏sincos൏൏∴൏൏൏香．coscos൏cosȁȁ൏൏൏൏（2）由题意可得，∴由余弦定理可得൏cosȁȁ൏cos香䁞．19.证明：取中点，连接、，∵ȁ香，ȁ，∴，，∵，∴平面，平面，∴，又∵，∴．试卷第6页，总10页,过做于，∵平面，平面，∴，∵，∴平面．过做交于，则、、两两垂直，以、、分别为ݔ系标坐角直间空示所图如立建轴、、ݔ，∵ȁ，ȁ香，ȁ，，点为中点，∴，ȁ൏，∴൏൏൏，∴，∴，，．ȁ∵，，൏∴，，∴四边形是矩形，，∴香䁞香䁞，䁞香䁞香，䁞䁞香，䁞䁞香，∵为中点，∴，香，，൏൏ȁ∴䁞䁞，䁞香䁞，香䁞䁞香．൏൏设平面的法向量ݔ香䁞香䁞香，由ݔ香香香，得香ݔ香，香香香香令ݔ香ȁ，得香，则ȁ䁞香䁞，则与所成角设为，其余角就是直线与平面所成角，设为，sinȁ൏cos，ȁ൏ȁ൏∴直线与平面所成角的正弦值为．ȁ൏20.（1）∵数列是首项为ȁ，公差为ȁ的等差数列，试卷第7页，总10页,∴．∴．当＝ȁ时，＝＝ȁ；当൏时，＝＝൏ȁ൏＝൏ȁ．ȁȁȁ又ȁ＝ȁ适合上式．∴＝൏ȁ．（2）＝＝，∴ȁ൏ǤǤǤ＝＝＝．∴对任意都成立，得对任意都成立．令，则．∴ȁ．∴．∴．∴实数的取值范围为．ȁ21.∵的坐标为香䁞ȁ，且线段的中点在直线ݔ上，൏∴点的横坐标为ȁ，ݔ൏൏൏൏൏代入椭圆方程＝ȁ，解得＝，故点ȁ䁞或点ȁ䁞．൏൏൏൏ȁȁ൏ȁȁ൏∴线段的中点䁞或䁞．൏൏൏൏ȁȁ由于ȁȁ䁞香，൏ȁ䁞香，当垂直于ݔ为程方的，时轴ݔ，点䁞൏൏试卷第8页，总10页,、ȁ䁞，൏ȁȁ求得൏൏．ȁ当不垂直于ݔ，ȁ䁞ȁݔ，䁞，为率斜的设，时轴ݔ൏䁞൏，൏ݔ൏ȁ൏൏ȁȁȁ൏ȁ由ݔ൏ȁ൏൏ݔȁݔ得可൏ݔ香，∴ȁ＝，即，൏൏ȁȁݔ൏൏൏ȁȁȁ൏ȁ故的方程为ݔ即，ݔ①．൏ݔ൏൏൏ȁ൏ȁ൏൏再把①代入椭圆方程＝ȁ，可得ݔݔ香．൏൏ȁ൏ȁ൏൏൏由判别式＝ȁ香，可得香．൏ȁ൏ȁ൏൏ȁ൏ȁȁ൏ȁ∴ݔȁݔ＝൏ȁ，ȁ൏൏ݔȁݔ，ȁ＝൏ݔȁݔ൏，∴൏൏ݔȁݔ൏ȁ൏ݔȁݔ＝൏䁞ȁ൏ݔȁ䁞ȁȁݔ൏ȁ൏ȁ．ȁ൏൏൏ȁ令＝ȁ，则ȁ，∴൏൏．ȁȁ再根据在ȁ䁞上单调递减，在䁞上单调递增求得的范围为൏䁞．൏ȁ൏综上可得，的范围为䁞．൏22.ݔ＝ݔ则，൏䁞香ݔ，ȁݔݔ＝ݔ，当ȁ时，ݔ则，香ݔ单调递增，所以ݔ数函则，香＝香ݔ无零点，符合题意；当时，令ݔ得解，香＝ݔ＝ݔ＝ln，则ݔ在香䁞ln上单调递减，在ln䁞൏上单调递增，因为ln香＝香，൏＝൏൏ȁ香，根据零点的存在性定理，可知ݔ在ln䁞൏上存在零点，不符合题意；当时，令ݔ得解，香＝ݔ＝ݔ＝ln，则ݔ在香䁞ln上单调递减，在ln䁞൏上单调递增，又ln香＝香，൏＝൏൏ȁ香，故函数ݔ无零点，符合题意；当൏时，ݔ数函则，香ݔ则，香ݔ＝ݔ无零点，符合题意．试卷第9页，总10页,综上，的取值范围为；证明：要证-ݔݔ൏ȁ，即证明，即证明，ݔ香䁞൏，令，则，令ݔ令，得解，香ݔ香，解得，故ݔ在上单调递增，在上单调递减，则，故只要证明，只需证明，又，故只需证明即可，又，所以，所以；令ݔ൏ݔ൏ݔ＝ݔ，则，所以ݔ在香䁞൏上单调递减，所以ݔ൏＝，所以൏ݔ൏ݔȁȁ．综上所述，-ݔݔ൏ȁ．试卷第10页，总10页