【优化探究】2022高考数学总复习 提素能高效题组训练 8-4 文 新人教A版

《优化探究》2022高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：8-4[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2022年海淀模拟)设m>0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为(　　)A．相切　　　　　　　　B．相交C．相切或相离D．相交或相切解析：圆心到直线l的距离为d＝，圆的半径为r＝，∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．答案：C2．(2022年高考重庆卷)设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　)A．1B.C.D．2解析：利用直线过圆心，则所截弦长恰为直径长求解．由于直线y＝x过圆心(0,0)，所以弦长|AB|＝2R＝2.答案：D3．(2022年烟台模拟)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最大时，直线l的方程为(　　)A．x＝1B．y＝1C．x－2y＋3＝0D．2x＋y－4＝0解析：易知点M(1,2)在圆C的内部，当∠ACB最大时，|AB|应最大，此时线段AB恰好是圆C的直径，由两点式，直线l的方程为2x＋y－4＝0.答案：D-6-\n4．(2022年长沙调研)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|O＋O|＝|O－O|(其中O为坐标原点)，则实数a等于(　　)A．2B．－2C．2或－2D.或－解析：由|O＋O|＝|O－O|知OA⊥OB，所以由题意可得＝，所以a＝±2.答案：C5．(2022年青岛模拟)若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为(　　)A.B.C．2D．4解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心坐标为(－1,2)，半径r＝2，由题意得，22＝2＋22，即得a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号．故选D.答案：D二、填空题6．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为________．解析：由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是>1，解得－<k<.答案：－<k<7．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．解析：依题意得|OO1|＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··|OO1|＝·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝＝＝4.答案：48．(2022年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k-6-\n的最大值是________．解析：解法一　设直线上一点(t，kt－2)，则圆心距满足≤2对t∈R有解，即(1＋k2)t2－(4k＋8)t＋16≤0有解，所以有(4k＋8)2－4×16(1＋k2)≥0，∴0≤k≤.解法二　由题意，圆心C到直线的距离不大于2，d＝≤2，解得0≤k≤.答案：9．(2022年高考江西卷)过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．解析：利用数形结合求解．直线与圆的位置关系如图所示，设P(x，y)，则∠APO＝30°，且OA＝1.在直角三角形APO中，OA＝1，∠APO＝30°，则OP＝2，即x2＋y2＝4.又x＋y－2＝0，联立解得x＝y＝，即P(，)．答案：(，)三、解答题10．(2022年枣庄月考)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．解析：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切．则有＝2.解得a＝－.(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得-6-\n解得a＝－7或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.11．(2022年湛江六校联考)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解析：假设存在斜率为1的直线l，满足题意，则OA⊥OB.设直线l的方程是y＝x＋b，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)则·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.①由消去y得，2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，∴x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝(b2＋4b－4)，②y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝(b2＋4b－4)－b2－b＋b2＝(b2＋2b－4)．③把②③式代入①式，得b2＋3b－4＝0，解得b＝1或b＝－4，且b＝1或b＝－4都使得Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0成立．故存在直线l满足题意，其方程为y＝x＋1或y＝x－4.12．(能力提升)(2022年徐州月考)已知数列{an}，圆C1：x2＋y2－2anx＋2an＋1y－1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长．(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)若a1＝－3，则当圆C1的半径最小时，求出圆C1的方程．解析：(1)证明：由已知，圆C1的圆心坐标为(an，－an＋1)，半径为r1＝，圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝2.又圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长，∴|C1C2|2＋r＝r.∴(an＋1)2＋(－an＋1＋1)2＋4＝a＋a＋1，∴an＋1－an＝.∴数列{an}是等差数列．(2)∵a1＝－3，∴an＝n－.则r1＝＝-6-\n＝.∵n∈N*，∴当n＝2时，r1可取得最小值，此时，圆C1的方程是：x2＋y2＋x＋4y－1＝0.[因材施教·学生备选练习]1．(2022年成都模拟)直线l：x＋2y＝4与圆C：x2＋y2＝9交于A，B两点，O是坐标原点，若直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，则sinα＋sinβ＝(　　)A.B.C.D.解析：联立消去x得5y2－16y＋7＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，∴sinα＝，sinβ＝，∴sinα＋sinβ＝(y1＋y2)＝·＝.答案：B2．(2022年桂林模拟)直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析：由于△AOB为直角三角形，OA＝OB＝1，故应为等腰直角三角形，故圆心到直线AB的距离为，即＝，∴2a2＋b2＝2(－1≤a≤1，－≤b≤)．P(a，b)与(0,1)的距离为d＝＝＝＝|b－2|，∵b∈[－，]，∴b－2∈[－2－，－2]，-6-\n∴|b－2|∈[2－，2＋]，故点P与点(0,1)之间的距离的最大值为＋1.答案：＋1-6-