【优化探究】2022高考数学总复习 提素能高效题组训练 2-12 文 新人教A版

《优化探究》2022高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：2-12[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难单调性1、84、5、69极值27、10综合应用31112一、选择题1．(2022年高考辽宁卷)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为(　　)A．(－1,1]　　　　　　　　B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解．由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．答案：B2．(2022年高考陕西卷)设函数f(x)＝＋lnx，则(　　)A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：利用导数法求解．∵f(x)＝＋lnx(x>0)，∴f′(x)＝－＋.由f′(x)＝0解得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴x＝2为f(x)的极小值点．答案：D-7-\n3．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)解析：依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，选C.答案：C4．若f(x)＝－(x－2)2＋blnx在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　)A．[－1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－1)解析：由题意可知f′(x)＝－(x－2)＋≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x(x∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤－1即可．正确选项为C.答案：C5．已知函数的图象如图所示，则其函数解析式可能是(　　)A．f(x)＝x2－2ln|x|B．f(x)＝x2－ln|x|C．f(x)＝|x|－2ln|x|D．f(x)＝|x|－ln|x|解析：经分析知，函数正的极小值点的横坐标应小于1，对四个选项求导可知选B项．答案：B-7-\n二、填空题6．(2022年扬州检测)若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2＋2x＋m，由f′(x)≥0，得m≥－3x2－2x，令g(x)＝－3x2－2x，则g(x)＝－32＋≤.∴m≥.答案：7．(2022年济宁模拟)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2－6b.当b≤0时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)无极值．当b>0时，令3x2－6b＝0得x＝±.由函数f(x)在(0,1)内有极小值，可得0<<1，∴0<b<.答案：8．函数f(x)＝xlnx的单调递增区间是________．解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f′(x)＝lnx＋1由f′(x)>0，得x>，∴f(x)的单调递增区间为.答案：9．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．解析：由题意知f′(x)＝－x＋4－＝＝－，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或者t<3<t＋1，得0<t<1或者2<t<3.答案：(0,1)∪(2,3)三、解答题10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(x∈[－1,2])，且函数f(x)在x＝1和x＝－-7-\n处都取得极值．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．解析：(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题易知，解得(2)由(1)知，f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，∵当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0；当x∈(1,2]时，f′(x)>0.∴f(x)的单调递增区间为和(1,2]．11．(2022年兰州调研)已知实数a>0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求实数a的值．解析：(1)f(x)＝ax3－4ax2＋4ax，f′(x)＝3ax2－8ax＋4a.令f′(x)＝0，得3ax2－8ax＋4a＝0.∵a≠0，∴3x2－8x＋4＝0，∴x＝或x＝2.∵a>0，∴当x∈或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.∴函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)；∵当x∈时，f′(x)<0，∴函数f(x)的单调递减区间为.(2)∵当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在x＝时取得极大值，即a·2＝32.∴a＝27.-7-\n12．(能力提升)已知函数f(x)＝＋aln(x＋1)．(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间和极值；(2)若f(x)在[2,4]上为单调函数，求实数a的取值范围．解析：(1)由x≠0且x＋1>0得函数f(x)的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，又f′(x)＝－＋＝＝，由f′(x)>0得－1<x<－或x>1，由f′(x)<0得－<x<0或0<x<1，所以f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为和(0,1)．f(x)和f′(x)随x的变化情况如下表：x－(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)极大值极小值由表知f(x)的极大值为f＝－2－2ln2，极小值为f(1)＝1＋2ln2.(2)f′(x)＝，若f(x)在区间[2,4]上为增函数，则当x∈[2,4]时，f′(x)≥0恒成立，即≥0，则a≥，当x∈[2,4]时，＝＋≤，所以a≥.若f(x)在区间[2,4]上为减函数，则当x∈[2,4]时，f′(x)≤0恒成立，即≤0，则a≤，当x∈[2,4]时，＝＋≥，所以a≤.综上得a≥或a≤.[因材施教·学生备选练习]1．(2022年长春模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，且满足x1∈(－1,1)，x2∈(2,4)，则a＋2b的取值范围是(　　)A．(－11，－3)B．(－6，－4)C．(－11,3)D．(－16，－8)-7-\n解析：依题意得，f′(x)＝x2＋ax＋b，x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，于是有如图，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，阴影部分表示的四边形的四个顶点的坐标分别为(－3，－4)，(－1，－2)，(－3,2)，(－5,4)，经验证得：当a＝－5，b＝4时，z＝a＋2b取得最大值3；当a＝－3，b＝－4时，z＝a＋2b取得最小值－11.于是z＝a＋2b的取值范围是(－11,3)，故选C.答案：C2．(2022年太原模拟)已知函数f(x)＝ax＋lnx(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝x2－2x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)<g(x2)，求实数a的取值范围．解析：(1)由题知f′(x)＝a＋＝(x>0)．①当a≥0时，由于x>0，所以ax＋1>0，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－.从而易知，在区间上f′(x)>0，在区间上f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)由题知，原问题可转化为当f(x)max<g(x)max时，a的取值范围问题．易知g(x)max＝2.由(1)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．当a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)的极大值即为最大值，则有f(x)max＝f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，-7-\n所以2>－1－ln(－a)，解得a<－.综上所述，实数a的取值范围为.-7-