【优化探究】2022高考数学总复习 提素能高效题组训练 10-3 文 新人教A版

《优化探究》2022高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：10-3[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难与长度、角度有关1、3、4、5、68与面积有关710、1112与体积有关29一、选择题1．(2022年淄博模拟)在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.解析：正方形的面积为36cm2时，边长AM＝6，面积为81cm2时，边长AM＝9，∴P＝＝＝.答案：A2．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)A.B．1－C.D．1－解析：正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：×πr3＝×π×13＝π，则点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝1－.答案：B3．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是(　　)A.B.C.D.-7-\n解析：依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3，球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于＝.答案：B4．如图所示，设M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长超过R的概率为(　　)A.B.C.D.解析：在圆上过圆心O作与OM垂直的直径CD，则MD＝MC＝R，当点N不在半圆弧上时，MN>R，故所求的概率P(A)＝＝.答案：D5．(2022年临沂模拟)若在区间[－5,5]内任取一个实数a，则使直线x＋y＋a＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共点的概率为(　　)A.B.C.D.解析：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d＝＝≤，解得－1≤a≤3.又a∈[－5,5]，故所求概率为＝.答案：B二、填空题6．(2022年北京西城模拟)如图所示，在直角坐标系内，射线OT-7-\n落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为＝.答案：7．(2022年北京海淀模拟)在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被监测到，那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为________．解析：根据几何概型得所求的概率为P＝＝.答案：8．(2022年泉州模拟)如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，则过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率是________．解析：弦长不超过1，即|OQ|≥，而Q点在直径AB上是随机的，设事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.答案：1－-7-\n9．在体积为V的三棱锥SABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥SAPC的体积大于的概率是________．解析：由题意可知>，三棱锥SABC的高与三棱锥SAPC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM、BN分别为△APC与△ABC的高，所以＝＝>，又＝，所以>，故所求的概率为(即为长度之比)．答案：三、解答题10．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．(1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；(2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．解析：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P(A)＝＝.(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.Ω＝.B＝.-7-\n则P(B)＝＝.11．(2022年晋中模拟)设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A、B除外)，将线段AB分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解析：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P＝.(2)设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6－x－y，故全部试验结果所构成的区域为即所表示的平面区域为△OAB.若三条线段x，y,6－x－y能构成三角形，则还要满足即为所表示的平面区域为△DEF，由几何概型知，所求概率为P＝＝.12．(能力提升)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．解析：(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，-7-\n∴所求事件的概率为P(A)＝＝.(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)，D，∴三角形OAD的面积为S1＝×3×＝.∴所求事件的概率为P＝＝＝.[因材施教·学生备选练习]1．(2022年滨州模拟)在区间[0,1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为(　　)A.B.C.D.解析：要使该函数无零点，只需a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－2b)<0.∴a，b∈[0,1]，a＋2b>0，∴a－2b<0.作出的可行域，易得该函数无零点的概率P＝＝.-7-\n答案：C2．已知P是△ABC内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机投入△ABC内，则该粒黄豆落在△PAC内的概率是________．解析：因为＋＋2＝0，所以＋＝－2.设＋＝，则＝－2，由共线向量定理知P，D，A三点共线．设所在的直线与所在的直线相交于点E，则AE为△ABC的边BC上的中线，且P是中线AE的中点，所以S△PBC＝S△ABC，S△PAC＝S△PEC＝S△PBC＝S△ABC，从而该粒黄豆落在△PAC内的概率为.答案：-7-