【优化探究】2022高考数学总复习 提素能高效题组训练 2-11 文 新人教A版

《优化探究》2022高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：2-11[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难导数的运算1导数的几何意义2、36、7、10综合应用4、5、8、911、12一、选择题1．y＝的导数是(　　)A.　　　B.C.D.解析：y′＝＝.答案：B2．已知P(x，y)为函数y＝xsinx＋cosx上的任意一点，f(x)为该函数在点P处切线的斜率，则f(x)的部分图象是(　　)解析：f(x)＝y′＝xcosx，显然f(x)为奇函数，其图象关于原点成中心对称，排除A、C，当x∈时，f(x)>0，排除D.故选B.答案：B3．(2022年石家庄质检)已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值是(　　)A．eB．－eC.D．－解析：依题意，设直线y＝kx与曲线y＝lnx相切于点(x0，kx0)，则有由此得lnx0＝1，x0＝e，k＝，选C.-6-\n答案：C4．(2022年南昌二校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则(　　)A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)解析：根据函数f(x)的图象可得函数f(x)的导函数f′(x)在[0，＋∞)上是单调递减，函数f(x)在[2,3]上的平均变化率小于函数f(x)在点(2，f(2))处的瞬时变化率，大于函数f(x)在点(3，f(3))处的瞬时变化率．所以0<f′(3)<<f′(2)，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．答案：B5．在函数y＝x3－9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3解析：依题意得，y′＝3x2－9，令0≤y′<1得3≤x2<，显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数y＝x3－9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.答案：A二、填空题6．(2022年焦作模拟)点P为曲线f(x)＝x3－2x2上的一个动点，则曲线f(x)在点P处的切线的斜率k的最小值为________．解析：k＝f′(x)＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，故k的最小值为－2.答案：－27．(2022年高考新课标全国卷)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为______．-6-\n解析：利用导数的几何意义先求得切线斜率．∵y＝x(3lnx＋1)，∴y′＝3lnx＋1＋x·＝3lnx＋4，∴k＝y′|x＝1＝4，∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.答案：y＝4x－38．(2022年太原四校联考)已知M是曲线y＝lnx＋x2＋(1－a)x上的一点，若曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，则实数a的取值范围是________．解析：依题意得y′＝＋x＋(1－a)，其中x>0.由曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于的锐角得，对于任意正数x，均有＋x＋(1－a)≥1，即a≤＋x.当x>0时，＋x≥2＝2，当且仅当＝x，即x＝1时取等号，因此实数a的取值范围是(－∞，2]．答案：(－∞，2]9．(2022年长沙十二校联考)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·…·x2012的值为________．解析：∵y′＝(n＋1)xn，∴曲线在点(1,1)处的切线斜率k＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，即y＝(n＋1)x－n，令y＝0得xn＝，∴x1·x2·x3·…·x2012＝···…·＝.答案：三、解答题10．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1，当曲线y＝f(x)斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行时，求a的值．解析：f′(x)＝3x2＋2ax－9＝3(x＋)2－9－，即当x＝－时，函数f′(x)取得最小值－9－，因斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－＝－12，即a2＝9，∴a＝±3.11．已知函数f(x)＝x3－x.-6-\n(1)求曲线y＝f(x)过点(1,0)的切线方程；(2)若过x轴上的点(a,0)可以作曲线y＝f(x)的三条切线，求a的取值范围．解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2－1.曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)，即y＝(3t2－1)·x－2t3，将点(1,0)代入切线方程得2t3－3t2＋1＝0，解得t＝1或－，代入y＝(3t2－1)x－2t3得曲线y＝f(x)的过点(1,0)的切线方程为y＝2x－2或y＝－x＋.(2)由(1)知若过点(a,0)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则方程2t3－3at2＋a＝0有三个相异的实数根．记g(t)＝2t3－3at2＋a，则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)．当a>0时，函数g(t)的极大值是g(0)＝a，极小值是g(a)＝－a3＋a，要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根，需使a>0且－a3＋a<0，即a>0且a2－1>0，即a>1；当a＝0时，函数g(t)单调递增，方程g(t)＝0不可能有三个相异的实数根；当a<0时，函数g(t)的极大值是g(a)＝－a3＋a，极小值是g(0)＝a，要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根，需使a<0且－a3＋a>0，即a<0且a2－1>0，即a<－1.综上所述，a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．12．(能力提升)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ex.(1)若函数φ(x)＝f(x)－，求函数φ(x)的单调区间；(2)设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0，f(x0))处的切线．证明：在区间(1，＋∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y＝g(x)相切．解析：(1)∵φ(x)＝f(x)－＝lnx－，∴φ′(x)＝＋＝.∵x>0且x≠1，∴φ′(x)>0，∴函数φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)．(2)∵f′(x)＝，∴f′(x0)＝，∴切线l的方程为y－lnx0＝(x－x0)，-6-\n即y＝x＋lnx0－1，①设直线l与曲线y＝g(x)相切于点(x1，ex1)，∵g′(x)＝ex，∴ex1＝，∴x1＝－lnx0.∴直线l的方程为y－＝(x＋lnx0)，即y＝x＋＋，②①－②，得lnx0－1＝＋，∴lnx0＝.证明：在区间(1，＋∞)上x0存在且唯一．由(1)可知，φ(x)＝lnx－在区间(1，＋∞)上递增．又φ(e)＝lne－＝<0，φ(e2)＝lne2－＝>0，结合零点存在性定理，说明方程φ(x)＝0必在区间(e，e2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一的x0.故结论成立．[因材施教·学生备选练习]1．(2022年高考重庆卷)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．解析：(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，由已知f′(1)＝2a，因此3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.又令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，由已知f′(2)＝－b，因此12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.因此f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.又因为f′(1)＝2×＝－3，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－-6-\n＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.(2)由(1)知g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，从而有g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x.令g′(x)＝0，得－3x2＋9x＝0，解得x1＝0，x2＝3.当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，0)上为减函数；当x∈(0,3)时，g′(x)>0，故g(x)在(0,3)上为增函数；当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数．从而函数g(x)在x1＝0处取得极小值g(0)＝－3，在x2＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.2．(2022年九江模拟)已知a∈R，函数f(x)＝＋lnx－1，g(x)＝(lnx－1)ex＋x(其中e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)在(0，e]上的单调性；(2)是否存在实数x0∈(0，＋∞)，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值，若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f(x)＝＋lnx－1，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝－＋＝.①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，e]上单调递增；②若0<a<e，当x∈(0，a)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减，当x∈(a，e]时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增；③若a≥e，则f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减．(2)∵g(x)＝(lnx－1)ex＋x，x∈(0，＋∞)，∴g′(x)＝(lnx－1)′ex＋(lnx－1)(ex)′＋1＝＋(lnx－1)ex＋1＝ex＋1，由(1)易知，当a＝1时，f(x)＝＋lnx－1在(0，＋∞)上的最小值f(x)min＝f(1)＝0，即x0∈(0，＋∞)时，＋lnx0－1≥0.又ex0>0，∴g′(x0)＝ex0＋1≥1>0.曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x0)＝0有实数解．而g′(x0)>0，即方程g′(x0)＝0无实数解．故不存在-6-