【优化探究】2022高考数学总复习 提素能高效题组训练 8-5 文 新人教A版

《优化探究》2022高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：8-5[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2022年长沙调研)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)A.＋＝1　　　　　　　B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.答案：A2．(2022年长春模拟)椭圆x2＋4y2＝1的离心率为(　　)A.B.C.D.解析：先将x2＋4y2＝1化为标准方程＋＝1，则a＝1，b＝，c＝＝.离心率e＝＝.答案：A-7-\n3．(2022年佛山月考)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为(　　)A．1B.C．2D.解析：由题意知，点P即为圆x2＋y2＝3与椭圆＋y2＝1在第一象限的交点，解方程组得点P的横坐标为.答案：D4．(2022年江西七校联考)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝(　　)A.B．1C.D.解析：由椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)知，a＝1，∵|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2，两式相加得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴|AF2|＋|BF2|＝4－(|AF1|＋|BF1|)＝4－|AB|.∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，∴2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，于是2|AB|＝4－|AB|，∴|AB|＝.答案：C5．(2022年温州模拟)设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)(　　)A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能-7-\n解析：由已知得e＝＝，则c＝.又x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝＝<＝2，因此点P(x1，x2)必在圆x2＋y2＝2内．答案：A二、填空题6．(2022年南京模拟)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆＋＝1的两个焦点，若椭圆上一点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则椭圆的离心率e＝________.解析：由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝4，所以2a＝4，解得a＝2，又c＝1，所以e＝＝.答案：7．(2022年江南十校联考)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2×5－6＝4.答案：48．(2022年泰安模拟)M是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，则|MF1|·|MF2|的最大值是________．解析：|MF1|＋|MF2|＝2a，|MF1|·|MF2|≤2＝a2＝9.答案：99．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为________．解析：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆方程知a＝5，b＝3，∴c＝4，∴解得|PF1||PF2|＝18，∴△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝×18＝9.答案：9三、解答题-7-\n10．(2022年德州模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若△OEF为直角三角形，求直线l的斜率．解析：(1)由已知＝，a2＋b2＝5，又a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)根据题意，过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在，设l：y＝kx＋4，联立消去y得(1＋4k2)x2＋32kx＋60＝0，Δ＝(32k)2－240(1＋4k2)＝64k2－240，令Δ>0，解得k2>.设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(i)当∠EOF为直角时，则x1＋x2＝－，x1x2＝，因为∠EOF为直角，所以O·O＝0，即x1x2＋y1y2＝0，所以(1＋k2)x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝0，所以－＋4＝0，解得k＝±.(ii)当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，此时，kOE·k＝－1，所以·＝－1，即x＝4y1－y，①又＋y＝1，②将①代入②，消去x1得3y＋4y1－4＝0，解得y1＝或y1＝－2(舍去)，-7-\n将y1＝代入①，得x1＝±，所以k＝＝±，经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为±和±.11．(2022年高考天津卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点P在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率．解析：(1)因为点P在椭圆上，故＋＝1，可得＝.于是e2＝＝1－＝，所以椭圆的离心率e＝.(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx.设点Q的坐标为(x0，y0)．由条件得消去y0并整理得x＝.①由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0得，(x0＋a)2＋k2x＝a2，整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.而x0≠0，故x0＝.代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.所以直线OQ的斜率k＝±.12．(能力提升)(2022年徐州模拟)设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2＋＝0.(1)求椭圆C的离心率；(2)若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线x－y－3＝0相切，求椭圆C的方程；(3)在(2)的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M，N两点，点P(4,0)，求△PMN-7-\n面积的最大值．解析：(1)设Q(x0,0)．∵F2(c,0)，A(0，b)，则＝(－c，b)，＝(x0，－b)，又⊥，∴－cx0－b2＝0，故x0＝－，又2＋＝0，∴F1为F2Q的中点，故－2c＝－＋c，即b2＝3c2＝a2－c2，∴e＝＝.(2)∵e＝＝，∴a＝2c，b＝c，则F2(c,0)，Q(－3c,0)，A(0，c)．∴△AQF2的外接圆圆心为(－c,0)，半径r＝|F2Q|＝2c＝a.∴＝2c，解得c＝1，∴a＝2，b＝，椭圆方程为＋＝1.(3)设直线MN的方程为：x＝my＋1，代入＋＝1得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，|y1－y2|＝＝.∴S△PMN＝|PF2|·|y1－y2|＝，-7-\n令＝λ≥，∴S△PMN＝＝≤＝，∴△PMN面积的最大值为，此时m＝0.[因材施教·学生备选练习]1．(2022年厦门质检)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1的直线与椭圆相交于A，B两点，若A·A2＝0，|A|＝|A2|，则椭圆的离心率为(　　)A.－B.－C.－1D.－1解析：在Rt△ABF2中，设|AF2|＝m，则|AB|＝m，|BF2|＝m，所以4a＝(2＋)m.又在Rt△AF1F2中，|AF1|＝2a－m＝m，|F1F2|＝2c，所以(2c)2＝2＋m2＝m2，则2c＝m.所以椭圆的离心率e＝＝＝－.答案：A2．(2022年佛山模拟)在等差数列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，则椭圆C：＋＝1的离心率为________．解析：由题意得a4＝10，设公差为d，则a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝20－3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，∴e＝＝.答案：-7-