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【优化探究】2022高考数学总复习 提素能高效题组训练 8-7 文 新人教A版
【优化探究】2022高考数学总复习 提素能高效题组训练 8-7 文 新人教A版
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《优化探究》2022高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练:8-7[命题报告·教师用书独具]一、选择题1.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线-=1的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是( )A.x2=4y B.x2=-4yC.y2=-12xD.x2=-12y解析:由题意得c==3,∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3).∴该抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-12y.答案:D2.(2022年长沙模拟)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析:结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).答案:C3.(2022年郑州模拟)已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是( )A.或B.或-8-\nC.或D.解析:由焦点弦长公式|AB|=得=12,∴sinθ=,∴θ=或.答案:B4.设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若++=0,则||+||+||=( )A.9B.6C.4D.3解析:由于抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),由++=0,可取=(-1,0),此时,+=(1,0),注意到对称性,可令A的坐标为,C的坐标为.于是,可得||+||+||=2+1=5+1=6.选B.答案:B5.(2022年高考安徽卷)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为( )A.B.C.D.2解析:利用抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系求解.如图所示,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知:点A到准线x=-1的距离为3,∴点A的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标y=2,-8-\n∴A(2,2),∴直线AF的方程为y=2(x-1).联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B,∴S△AOB=|OF|·|yA-yB|=×1×|2+|=.故选C.答案:C二、填空题6.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为________.解析:依题意得,直线x=-与圆(x-3)2+y2=16相切,因此圆心(3,0)到直线x=-的距离等于半径4,于是有3+=4,即p=2.答案:27.(2022年南京模拟)已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线与y轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且|NF|=|MN|,则∠NMF=________.解析:如图,过N作准线的垂线,垂足为H,则|NF==|MN|,∴cos∠MNH=,∴∠MNH=,∴∠NMF=.-8-\n答案:8.已知点A(2,0),B(4,0),动点P在抛物线y2=-4x上运动,则·取得最小值时点P的坐标是________.解析: 设P则=,=,·=·+y2=+y2+8≥8,当且仅当y=0时取等号,此时点P的坐标为(0,0).答案:(0,0)9.(2022年高考陕西卷)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m.水位下降1m后,水面宽____________m.解析:用数形结合法.建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则A(2,-2),将其坐标代入x2=-2py得p=1.∴x2=-2y.当水面下降1m,得D(x0,-3)(x0>0),将其坐标代入x2=-2y得x=6,∴x0=.∴水面宽|CD|=2m.答案:2-8-\n三、解答题10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离为5,求抛物线的方程和m的值.解析:根据已知条件,抛物线方程可设为y2=-2px(p>0),则焦点F.∵点M(-3,m)在抛物线上,且|MF|=5,得方程组解得或∴抛物线方程为y2=-8x,m=±2.11.(2022年厦门模拟)如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.解析:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px(p>0).∵点P(1,2)在抛物线上,∴22=2p×1,解得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1.(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则kPA=(x1≠1),kPB=(x2≠1),∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB.由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得y=4x1,①y=4x2,②∴=-,∴y1+2=-(y2+2).∴y1+y2=-4.由①-②得,y-y=4(x1-x2),∴kAB===-1(x1≠x2).-8-\n12.(能力提升)如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点.(1)设点P满足=λ(λ为实数),证明:⊥(-λ);(2)设直线AB的方程是x-2y+12=0,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.解析:(1)依题意,可设直线AB的方程为y=kx+m,代入抛物线方程x2=4y,得:x2-4kx-4m=0.①设A,B两点的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),则x1,x2是方程①的两根,所以,x1x2=-4m.由点P满足=λ(λ为实数,λ≠-1),得=0,即λ=-.又点Q是点P关于原点的对称点,故点Q的坐标是(0,-m),从而=(0,2m).-λ·=(x1,y1+m)-λ(x2,y2+m)=(x1-λx2,y1-λy2+(1-λ)m).·(-λ)=2m=2m=2m(x1+x2)·=2m(x1+x2)·=0,所以⊥(-λ).(2)由得点A,B的坐标分别是(6,9),(-4,4).由x2=4y得y=x2,y′=x,所以,抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y′|x=6=3.设圆C的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,-8-\n则解得:a=-,b=,r2=(a+4)2+(b-4)2=.所以,圆C的方程是2+2=.[因材施教·学生备选练习]1.(2022年聊城模拟)已知A、B为抛物线C:y2=4x上的不同两点,F为抛物线C的焦点,若=-4,则直线AB的斜率为( )A.±B.±C.±D.±解析:∵=-4,∴||=4||,设|BF|=t,则|AF|=4t,如图所示,点A、B在抛物线C的准线上的射影分别为A1、B1,过A作BB1的垂线,交线段B1B的延长线于点M,则|BM|=|AA1|-|BB1|=|AF|-|BF|=3t.又|AB|=|AF|+|BF|=5t,∴|AM|==4t,∴tan∠ABM=.由对称性可知,这样的直线AB有两条,其斜率为±.答案:D2.(2022年郑州质检)已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为________.解析:由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.答案:2-8-\n-8-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:43:14
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