【备战2022】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第25讲 建构函数模型的应用性问题（含详解）

建构函数模型的应用性问题题型预测应用题是高考考查的重点，也是考生得分的难题，近年来该类试题的特点日趋鲜明：1.应用题的信息来源真实可靠；2.应用题的个数明显在增加；3.注重考查学生动脑、动手能力及应用的能力(如2022年文科22题)。从高考应用题来看，涉及函数、数列、不等式等高中主要板块的内容，是历年高考命题的热点和重点．解答函数型应用题，一般先从建立函数的解析表达式入手，通过研究函数的性质获得解答．因此，这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用．范例选讲例1．某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元．（Ⅰ）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？讲解本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面．由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关．从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题．为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答．由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润．（Ⅰ）设该店的月利润为S元，有职工m名．则．又由图可知：．4\n所以，由已知，当时，，即，解得．即此时该店有50名职工．（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则月利润．当时，求得时，S取最大值7800元．当时，求得时，S取最大值6900元．综上，当时，S有最大值7800元．设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有．解得．所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元．点评求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义．（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题．（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．例2．一位救生员站在边长为100米的正方形游泳池ABCD的A处（如图），发现C处有一位溺水者．他跑到E处后，马上跳水沿直线EC游到C处，已知救生员跑步的速度为米／分，游泳的速度为米／分．试问，救生员选择在何处入水才能最快到达C处，所用的最短时间是多少？讲解：理解本题并不难：应该建立时间t（分）关于某个变量的函数关系式，然后，通过求最值的方法来解决问题．难点在于变量的选择，当然，我们可以选择以AE的长度x（米）作为变量，但此时，求最值较为困难．注意到：AE和EC的长度，可以方便的用角表示，不必用到根号，所以我们可以尝试以4\n作为变量．设，则，所以，等号当且仅当，即，即时成立．此时，，．也即，救生员应该在AB边上距B米处入水，才能最快到达C处，所用的最短时间为．点评（1）恰当选择变量，有助于简化数学过程；（2）本题中，若以为自变量，也可通过三角代换（或移项、平方、判别式等）来求得最值．例3．某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：．注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量．（Ⅰ）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；4\n（Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？讲解：（Ⅰ）当时，，所以，每天的盈利额．当时，，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件．故，每天的盈利额综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，每天的盈利额为0．当时，．为表达方便，令，则．故．（等号当且仅当，即时成立）．所以，（1）当时，（等号当且仅当时成立）．（2）当时，由得，易证函数在上单调递增（证明过程略）．所以，．所以，．即．（等号当且仅当时取得）综上，若，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润．点评基本不等式和函数的单调性是求解函数最值问题的两大重要手段．4