【备战2022】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第27讲 建构不等关系的应用性问题（含详解）

建构不等关系的应用性问题题型预测不等式应用题，多以函数面目出现，以最优化的形式展现，解答这一类问题，不仅需要不等式的相关知识（不等式的性质、解不等式、均值不等式等），而且往往涉及函数、数列、几何等多方面知识，综合性强，难度可大可小，是高考和各地模拟题的命题热点．范例选讲例1.某商场经过市场调查分析后得知，2022年从年初开始的前n个月内，对某种商品需求的累计数（万件）近似地满足下列关系：（Ⅰ）问这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？（Ⅱ）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件）讲解：（Ⅰ）首先，第n个月的月需求量＝∵，∴．当时，∴令，即，解得：，∵n∈N，∴n=5，6即这一年的5、6两个月的需求量超过1.3万件．（Ⅱ）设每月初等量投放商品a万件，要使商品不脱销，对于第n个月来说，不仅有本月投放市场的a万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，需且只需：，∴又∵∴即每月初至少要投放11112件商品，才能保证全年不脱销．4\n点评：实际问题的解答要注意其实际意义．本题中的最小值，不能用四舍五入的方法得到，否则，不符合题意．例2．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.甲乙丙维生素A（单位/千克）600700400维生素B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194（Ⅰ）用x，y表示混合食物成本c元；（Ⅱ）确定x，y，z的值，使成本最低．讲解：（Ⅰ）由题，，又，所以，．（Ⅱ）由得，，所以，所以，当且仅当时等号成立．所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元．点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域上使得最大的点．不难发现，应在点M（50，20）处取得．例3．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．adl（Ⅰ）将此枕木翻转90°4\n（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？（Ⅱ）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？讲解：（Ⅰ）由题可设安全负荷为正常数），则翻转90º后，安全负荷．因为，所以，当时，．安全负荷变大；当时，，安全负荷变小．（2）如图，设截取的枕木宽为a，高为d，则，即．∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大∴当且仅当，即取，时，u最大，即安全负荷最大．例4．现有流量均为300的两条河流A、B会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2和0.2．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100的水量，即从A股流入B股100水，经混合后，又从B股流入A股100水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01（不考虑泥沙沉淀）？讲解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.01”．但直接建构这样的不等关系较为困难．为表达方便，我们分别用4\n来表示河水在流经第n个观测点时，A水流和B水流的含沙量．则＝2，＝0.2，且．（＊）由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列．由（＊）可得：所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．所以，．由题，令<0.01，得．所以，．由得，所以，．即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01．点评：本题为数列、不等式型综合应用问题，难点在于对题意的理解．4