【备战2022】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第28讲 结论开放的探索性问题（含详解）

结论开放的探索性问题题型预测探索性问题是指那些题目条件不完备、结论不明确、或者答案不唯一，给学生留有较大探索余地的试题．这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分考生的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．探索性问题一般有三类：（1）探索结论的开放性问题；（2）探索条件的开放性问题；（3）探索规律（或策略）的问题．结论开放的探索性问题，往往结论不确定、不唯一，或结论需通过类比引申推广，或结论需通过特例归纳．解决这一类问题，要注意类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法．范例选讲例1．设f(x)是定义域为R的一个函数，给出下列五个论断：①f(x)的值域为R；②f(x)是R上的单调递减函数；③f(x)是奇函数；④f(x)在任意区间[a,b](a<b)上的最大值为f(a)，最小值为f(b)，且f(a)>f(b)；⑤f(x)有反函数．以其中某一论断为条件，另一论断为结论（例如：⑤①），至少写出你认为正确的三个命题：.讲解：本题考察对于函数性质的理解．根据单调性的定义，不难知道：②⑤等价，又由于单调函数必有反函数，所以，不难写出三个正确命题：②⑤；④⑤；②④（或④②）．进一步思考，函数的值域与单调性、奇偶性并无直接联系，而且单调性与是否存在反函数之间也不是等价的关系．所以，可以知道，只有上述三个正确命题．例2．已知是实数，给出下列四个论断：（1）；（2）；（3）；（4）以其中的两个论断为条件，其余两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题．__________________________________．5\n讲解本题考查不等式的性质．显然，（1）、（2）等价，它们的含义均为：同号．在此前提之下，由（3）必可推出（4），所以，正确的命题为：（1）（3）（4）；（2）（3）（4）．点评：对于这一类只给出了一个特定的情境，而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题，应该灵活运用数学知识，回顾相近的题型、结论、方法，进行类比猜想．在给定的情境中自己去假设，去求解，去调整方法，去确定结果．ABCDA1B1C1D1例3．如右图，在正方体中，写出过顶点A的一个平面，使该平面与正方体的12条棱所成角都相等（写出你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况）．_____________________________讲解：正方体的12条棱共分为3组，每组有4条平行线，所以，只需考虑与过同一顶点的三条棱所成角相等即可．正方体是我们较为熟悉的基本图形，不难知道：面ADB1即符合条件（与BA、BD、BB1所成角相等）．例4．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是___________________（只需写出一个可能的值）．讲解：本题为策略开放题，过程需学生自己设计．由于四面体的棱长未一一给出，首先需探求和设计符合题意的几何图形，再按图索骥，得出结论．本题只要求写出一个可能的值，所以，我们可以尽量构造相对简单、易求值的图形．如：底面为边长为1的正三角形，侧棱长均为2．不难算得，此时体积为．作为本题的延伸，我们可以考虑所有符合题意的图形．由于三角形的两边之长大于第三边，所以，组成四面体各个面的三角形中，或者只有一边长为1，或者3边长全为1．如果这些三角形中，有一个边长为1的正三角形，则将其作为底面，考虑其侧棱长，共四种情况：两边为1，一边为2；一边为1，两边长为2；三边长全为2．简单的考察不难知道，只有最后一种情况是可能的．如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，则只可能有两种情况：四面体的6条棱中，只有一组相对棱的长度为1，其余棱长全为2；只有一条棱长为1，其余棱长全为2．综上，共3种情况．如图：5\n其体积分别为：．点评：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略．如何能够跳出题海，事半功倍，关键是找到好的切入点．从本题来说，一方面当然要最快找到一个可能的结果，另一方面，对于这种具有多重结果的结论开放性试题，抓住条件中那些影响结果的动态因素，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．例5．规定，其中，是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（Ⅲ）我们知道，组合数是正整数．那么，对于，，是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些成立的例子吗？讲解：（Ⅰ）．（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当时，有定义，但无意义．性质②如果能够推广，那么,它的推广形式应该是：，其中，是正整数．类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，当时，．当时，5\n由此，可以知道，性质②能够推广．（Ⅲ）从的定义不难知道，当且时，不成立，下面，我们将着眼点放在的情形．先从熟悉的问题入手．当时，就是组合数，故．当且时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（，且）与已知的结论相联系？一方面再一次考察定义：；另一方面，可以从具体的问题入手．由（Ⅰ）的计算过程不难知道：．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论．因此，将转化为可能是问题解决的途径．事实上，当时，．①若，即，则为组合数，故．②若，即时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：＝0……，可以猜想，此时．这个结论不难验证．事实上，当时，在这m个连续的整数中，必存在某个数为0．所以，．综上，对于且为正整数，均有．点评：类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”5\n的思维跳跃．在开放题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养学生的创新思维能力，又有利于提高学生举一反三、触类旁通的应变灵活性．5