【备战2022】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第10讲 不等式的解法（含详解）

不等式的解法题型预测不等式具有联系广泛，应用广泛，变换灵活的特点．是中学数学的重点内容，也是学习高等数学的基础知识和重要工具，是高考的考察重点之一，在高考数学试题中占有相当大的比重．关于不等式的解法，应该在熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值的不等式、指数不等式和对数不等式等的解法的同时，注意对含参数的不等式须经讨论求解的问题．同时，还需注意不等式的工具作用，也即不等式与其它知识的综合问题．范例选讲例1解关于x的不等式：．讲解：解不等式实质上就是等价变形，利用对数函数的单调性，我们不难得到：原不等式等价于①即.由于，所以，所以，上述不等式等价于②解答这个含参数的不等式组，必然需要分类讨论，此时，分类的标准的确定就成了解答的关键．如何确定这一标准？首先，我们可以从解不等式入手，不难看到是一个分界点，这可以看作是本题分类讨论的第一层次；其次，要解上述不等式组，从两个不等式取交集的角度，必然需要考虑到，，2这三个数之间的大小关系，这应该是本题分类讨论的第二层次．但是，在本题的条件及第一分类标准之下，这三个数的大小关系已经确定，所以，我们只需考虑以为分界点．5\n（1）当时，不等式组②等价于此时，由于，所以．从而．（2）当时，不等式组②等价于所以．（3）当时，不等式组②等价于此时，由于，所以，．综上可知：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．如果将本题中的条件去掉，则在将原不等式等价转化为不等式组①后，就应该开始确定分类标准．从解不等式和入手，可知，是两个分界点，另外，从解不等式组的角度，即不等式取交集的角度，可以看出需要比较，，1，2这四个数的大小关系，为了找到分界点，可以令＝，解得：，于是，我们得到了此题分类讨论的3个界点：0，1，2．从不重不漏的原则出发，我们可以画出如下数轴，并标出0，1，2三个点，以此把数轴分成，，，四个区间及三个点．5\n下面只需在各区间及各界点展开讨论即可．结论如下：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．点评：解含参数的不等式时，关键在于分类标准的确定．函数单调性的变化常常作为确定分类标准的依据．分类需要不重不漏，尤其注意不要忽略参数在分界点的取值．例2设函数，（1）当时，解不等式；（2）求的取值范围，使得函数在上为单调函数．讲解：（1）时，可化为：，等价于：①或②解①得，解②得．所以，原不等式的解集为．（2）任取，且，则5\n要使函数在上为单调函数，需且只需：恒成立，（或恒成立）．因此，只要求出在条件“，且”之下的最大、最小值即可．为了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如：，容易知道，此时；若考虑，则不难看出，此时，至此我们可以看出：要使得函数为单调函数，只需．事实上，当时，由于恒成立，所以，．所以，在条件“，且”之下，必有：．所以，在区间上单调递减．当时，由（1）可以看出：特例的情况下，存在．由此可以猜想：函数在区间上不是单调函数．为了说明这一点，只需找到，使得即可．简便起见，不妨取，此时，可求得，也即：5\n，所以，在区间上不是单调函数．点评：本题是函数、不等式型综合问题，注意：不等式解区间的端点往往与方程的解相关（如（1）中.5