【备战2022】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第22讲 参数范围型综合问题（含详解）

参数范围型综合问题题型预测参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等。范例选讲例1．对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围。讲解：将视为主元，设，则当时，>0恒成立。等价于：。即。解得。点评：换个角度看问题，换个方面去解释，换个方向去思考。在数学学习过程中，要注意多角度、多方向、多层次地去思考问题，这样不但对问题的认识更全面、更深刻，还可以发展自己的思维能力。例2．已知函数。（Ⅰ）将的图像向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；（Ⅱ）函数与函数的图像关于直线对称，求函数的解析式；（Ⅲ）设，已知的最小值是，且，求实数的取值范围。讲解：（Ⅰ）；（Ⅱ）设点是函数上任一点，5\n点关于的对称点是由于函数与函数的图像关于直线对称，所以，点在函数的图像上，也即：。所以，；（Ⅲ）要求m的取值范围，可以通过构造关于m的不等式来获得解答，方法之一是直接法，即先求出的最小值，再令其大于即可。解法一。为求的最小值，注意到的表达式形同，所以，可以考虑从的正负入手。（1）当，即时，由的值域均为，可得。这与矛盾；（2）当，即时，是R上的增函数，此时无最小值，与题设矛盾；（3）当，即时，是R上的减函数，此时也无最小值，与题设矛盾；所以，由（1）（2）（3）可得：当，即时，。5\n等号当且仅当，即时成立。由及，可得：。解之得：。从另一个角度考虑，“的最小值是且”，也就是说恒成立。于是，我们可以得到下面的解法：解法二。由可得：。令，则命题可转化为：当时，恒成立。考虑关于的二次函数。要使时，恒成立。首先必须要求，此时由于函数的对称轴，所以，需且只需解之得：。此时，，故在取得最小值满足条件。5\n点评：构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解是有关取值范围问题常用的方法。在构造不等式的过程中，常常要用到一元二次方程的判别式。例3．设直线过点P（0，3）且和椭圆顺次交于A、B两点，求的取值范围.讲解：首先，不难得到：=。要求的取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），通过求函数的值域来达到目的；其二则是构造关于所求量的一个不等关系。由此出发，可得到下面的两种解法。解法1:在=中，有两个变量，但这两个变量的范围很难确定，故需要利用第3个变量。比较自然的想法是“直线AB的斜率k”。于是，问题就转化为“如何将转化为关于k的表达式”。只需将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，利用求根公式即可。当直线垂直于x轴时，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得由椭圆关于y轴对称，且点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，，，所以===.由,解得，所以，综上。5\n解法2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等关系的根源。由判别式非负可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来。一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称式.问题找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称式：。简解如下：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得（*）则令，则，在（*）中，由判别式可得，从而有，所以，解得。结合得。综上，。点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.5