【备战2022】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第20讲 曲线轨迹的探求（含详解）

曲线轨迹的探求题型预测解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质．从这个角度来说，轨迹问题成为解析几何高考命题的重点和热点也就不足为奇了．探求动点的轨迹，主要有以下方法：（1）定义法：若能结合题目条件分析出轨迹是什么曲线，则可利用曲线的定义得到结论．（2）直接法：直接建立动点所满足的关系式，然后通过化简方程得出结论．（3）间接法：又分为相关点法、参数法、交轨法等．解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程．范例选讲例1已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，离心率为，且双曲线上动点P到点A（2，0）的最近距离为1．（Ⅰ）证明：满足条件的双曲线的焦点不可能在y轴上；（Ⅱ）求此双曲线的方程；（Ⅲ）设此双曲线的左右焦点分别是，Q是双曲线右支上的动点，过作的平分线的垂线，求垂足M的轨迹．讲解：（Ⅰ）可考虑反证法．证明：设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则由，得，所以，．假设存在满足条件且焦点在y轴上的双曲线，则其渐近线方程为．在此条件之下，一方面，我们当然可以设双曲线方程为：，然后把用表示，利用的最小值为1，推出矛盾．而另一方面，是否有更简捷的办法呢？由于在前面的解答过程中已经求出了双曲线的渐近线，不妨作大胆的猜想：“点A到渐近线的距离大于1”．经过验证，猜想正确．（事实上，点A（2，0）到渐近线的距离为4\n）．所以双曲线上动点到点A的距离都超过1．所以，不存在满足条件且焦点在y轴上的双曲线．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可设双曲线的方程为：，则这个双曲线上任一点到点的距离为：∵，∴若，则当时，有最小值，由，解得（舍去）；若，则当时，有最小值，由，解得；∴双曲线的方程为：（Ⅲ）解：设点M的坐标为（x，y），延长与交于点T，连接OM．∵QM平分，且QM⊥，∴，．又∵点Q是双曲线右支上的动点，∴∴，∴，即点M在以O为圆心，为半径的圆上．∵当点Q沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM趋近于双曲线的渐近线，∴点M的轨迹是圆弧CBD，除去点C,点D.方程为：．4\n点评：挖掘图形的几何性质，运用定义求轨迹是求动点轨迹的常用方法．例2．如图，过点A（－1，0），斜率为k的直线l与抛物线C：y2=4x交于P，Q两点.（I）若曲线C的焦点F与P，Q，R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程；（II）设P，Q两点只在第一象限运动，（0，8）点与线段PQ中点的连线交x轴于点N，当点N在A点右侧时，求k的取值范围.讲解：（I）要求点R的轨迹方程，注意到点R的运动是由直线l的运动所引起的，因此可以探求点R的横、纵坐标与直线l的斜率k的关系．然而，点R与直线l并无直接联系．与l有直接联系的是点P、Q，通过平行四边形将P、Q、R这三点联系起来就成为解题的关键．由已知，代入抛物线C：y2=4x的方程，消x得：∵、Q∴解得设，M是PQ的中点，则由韦达定理可知：将其代入直线l的方程，得∵四边形PFQR是平行四边形，∴中点也是中点.∴又4\n∴．∴点R的轨迹方程为（II）因为P、在第一象限，所以，，．结合（I）得，…①点（0，8）与PQ中点所在直线方程为．令y=0,得N点横坐标为：．因为N在点A右侧，令，得．解之得k<0或②综合①②，得k的取值范围是点评：选择合适的桥梁，促成已知和未知之间的转化是解决问题的关键．本题中的中点M就起到这样的作用．实际上，转移点法中的“转移”，参数法中的“参数”都表达了同样的意思．4