【备战2022】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第19讲 二次曲线与二次曲线（含详解）

二次曲线与二次曲线题型预测高考说明中明确指出：“对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题(两圆的交点除外)”．但是，在解答某些问题时（如1990年全国理科25题），难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题，因此，应该让学生明白：双二次曲线消元后，得到的方程的判别式与交点个数不等价．其次，有些问题涉及两个二次曲线，但所讨论和研究的并不是交点，而是它们的某些参量之间的关系，由于涉及到的参量较多，问题往往显得较为复杂，这类问题要特别加以注意，理清思路，顺藤摸瓜，设计好解题步骤．范例选讲例1．讨论圆与抛物线的位置关系．讲解：圆是以为圆心，1为半径的圆，从草图不难发现，当时，圆与抛物线无公共点；当时，圆与抛物线相切；当时，圆与抛物线相交；而当时，圆与抛物线的关系则很难从图形上加以判断．为此，我们需借助方程组的解的个数来加以说明．把代入，整理得：（＊）．此方程的判别式．可以看到：当时，；当时，；当时，．事实上，当时，的确有圆与抛物线相切；当时，圆与抛物线无公共点．而当时，虽然有方程（＊）的，但圆与抛物线却并不总有公共点，也即判别式与方程组解的个数不等价．造成这种情况的原因实际上是由于：在方程组转化为方程（＊）的过程中，忽略了条件．事实上，方程组解的个数等于方程（＊）的非负解的个数．综上，圆与抛物线的位置关系如下：当或时，圆与抛物线无公共点；当5\n时，圆与抛物线相切（只有一个公共点）；当时，圆与抛物线相交（两个公共点）；当时，圆与抛物线相交（三个公共点）；当时，圆与抛物线相交（四个公共点）；当时，圆与抛物线相切（两个公共点）．点评：双二次曲线的问题，要注意判别式的符号与交点个数并不完全等价．例2．已知椭圆，它的离心率为．直线，它与以原点为圆心，以的短半轴为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左焦点为，左准线为．动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点．试点到圆上的点的最短距离．讲解：（Ⅰ）∵直线与以原点为圆心，以b为半径的圆相切．∴．又∵椭圆的离心率为．∴．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：椭圆的左焦点的坐标为，左准线的方程为：．连接，则．由抛物线的定义不难知道：点M的轨迹为以为焦点，以：为准线的抛物线，其方程为：．所以，点到圆上的点的最短距离，实际上就是抛物线与圆上的点的最短距离．下面我们分别从几何和代数的角度来考虑这个问题．解法一：首先，如果抛物线上点A与圆上点B之间距离最小，则AB必过圆心O．（否则，连接OB、OA，设OA交圆于点N，则＋NA＝OA<OB＋AB＝＋AB，即NA<BA，与AB最小矛盾．所以，只需求出圆心O到抛物线上点的最短距离即可．）在抛物线上任取一点M（x,y），则5\n由于．所以，（等号当且仅当时取得）．所以，上述最短距离为．解法二：用纯代数的方法去思考．设为抛物线上任意点，为圆上任意点，则F1OF2xQByP等号当且仅当抛物线和圆上的两点分别为和时取得．点评：方法二需要较强的代数变形的能力，充分运用图形的几何性质可以使得问题简化．例3．已知双曲线和椭圆有相同的焦点和，两曲线在第一象限内的交点为P．椭圆与y轴负半轴交于点B，且三点共线，分有向线段的比为1：2，又直线与双曲线的另一交点为，若．（Ⅰ）求椭圆的离心率5\n（Ⅱ）求双曲线和椭圆的方程．讲解：（Ⅰ）要求椭圆的离心率，可以先只考虑与椭圆有关的条件．注意到：三点共线，且分有向线段的比为1：2．所以，若设椭圆的方程为：，则点P的坐标为．代入椭圆方程，可解得椭圆的离心率．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆的方程为：，点P的坐标为．直线PB的方程为：设双曲线的方程为：，则．∵在双曲线上，∴化简得：．故．将直线PB的方程代入双曲线方程，消去y，得：．解得．从而．∴椭圆方程为，双曲线方程为．点评：解答本题，最大的问题在于：所给条件杂乱无序，不知从何入手．为此，应该理清头绪，层层递进，分步解答．5\n5