【备战2022】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第30讲 是否存在型的探索性问题（含详解）

是否存在型的探索性问题题型预测一般来说，是否存在型问题，实质上是探索结论的开放性问题．相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论，有些时候须讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试的命题者的青睐．解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性．探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素．范例选讲例．已知数列中，，且对于任意自然数，总有，是否存在实数，使得对于任意自然数恒成立？证明你的结论．讲解：是一个一般性的结论，为了探求是否存在，我们可从特殊的n出发，求出的值，再检验是否满足一般的条件．由，，代入，可解得．代入检验，可知当时，一方面由得，另一方面，由得，矛盾．所以，这样的实数不存在．5\n上述过程是解答这一类问题的一般方法，但对于本题，有它的特殊性．如果对极限的概念较为熟悉，不难发现，如果这样的存在的话，则由，可得：．对两边取极限，得，解得或3．若，则数列应该是以1为首项，以为公比的等比数列，显然，不可能对任意的正整数n都满足；若，将代入，可求得－3，此时，，验证即可得出矛盾．作为探索是否存在的一种手段，后一种方法显然优于前一种．点评：探索，常常遵循“从一般到特殊，再从特殊到一般”的思维方法．先从具体、特定的实例入手，从中探测出问题的结论，再经过严格的论证．例2．已知函数（是自然数）是奇函数，有最大值，且．（Ⅰ）试求函数的解析式；（Ⅱ）是否存在直线与的图象只交于P、Q两点，并且使得P、Q两点的中点为（1，0）点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．讲解：（Ⅰ）由为奇函数易知：．又因为是自然数，所以，当时，<0；当时，．所以，的最大值必在时取得．当时，，等号当且仅当时取得．所以，．又，所以，．结合是自然数，可得：．5\n所以，．（Ⅱ）对于“是否存在型”的问题，一般探索的方法为：假设存在，导出矛盾，或者从部分结论出发，导出其存在的必要条件，再验证是否充分．根据上述思路，我们可以假设存在满足条件的直线，则、Q的坐标可为P，．且这两点都在函数的图像上．即：消去，得，解得：．所以，或．所以，直线的方程为：．的存在性还须通过充分性的检验．把直线的方程与函数联立，不难求得，共有三组解：．因此，直线与的图象共有三个交点，与“只交于两点”矛盾．所以，满足条件的直线不存在．在得到这样的解答之后，我们不妨回头再看一看，在上述过程中，函数的性质（如奇偶性）并没有得到充分的应用．若能充分运用这个已知条件，则可以得到其他不同的探索过程．解2：设，则由为奇函数可知：P关于原点的对称点也在的图像上，又，所以，，且，故问题等价于：是否存在直线，使得与有两个距离为2的交点．5\n将代入，解之得：，令，解得：，，所以，，此时直线的方程为充分性的检验过程同上．以上两种解法都是从求出直线的方程入手．如果我们将着眼点放在“只交于两点”，则可以得到下面简洁的解法．解3：当直线的斜率不存在时，，此时与函数的图像只交于一点，不满足题设，所以，可设直线的方程为：，与联立，消去得：（#）由P、Q关于点（1，0）对称，可得：点（1，0）在直线上，所以，．对于上述方程（＃），若，则方程只有一解，不符合题意．若，则方程（#）的实根个数可能为1个或3个．不可能有两个．即过点（1，0）的直线与的图象不可能只有两个交点，所以，这样的直线不存在．点评：敏锐的观察，丰富的想象，是进行有效探索的法宝．例3．已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的前项和．（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）是否存在自然数和，使得成立．讲解：（Ⅰ）由，得．（Ⅱ）为了探求自然数和的存在性，我们可以执果索因，用分析法．5\n要使，只要．因为，所以，故只要．①到此为止，可以看出，问题已转化为：是否存在自然数k，使得在和之间存在一个自然数？因此，我们需考察与的表达式．注意到：，所以，当时，，，故只需考虑的情形．又时，，；时，，．所以，均不可能存在自然数满足条件．点评：如果将上述问题（Ⅱ）改为：“是否存在自然数，使得对于任意的自然数，都有成立？”是否有更简洁的解法？请读者思考．5