【备战2022】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第29讲 条件开放的探索性问题（含详解）

条件开放的探索性问题题型预测探索性问题的明显特征是问题本身具有开放性及问题解决的过程中带有较强的探索性．对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．范例选讲例1．在四棱锥中，四条侧棱长都相等，底面是梯形，，．为保证顶点P在底面所在平面上的射影O在梯形的外部，那么梯形需满足条件___________________（填上你认为正确的一个条件即可）．讲解：条件给我们以启示．由于四条侧棱长都相等，所以，顶点P在底面上的射影O到梯形四个顶点的距离相等．即梯形有外接圆，且外接圆的圆心就是O．显然梯形必须为等腰梯形．再看结论．结论要求这个射影在梯形的外部，事实上，我们只需找出使这个结论成立的一个充分条件即可．显然，点B、C应该在过A的直径AE的同侧．不难发现，应该为钝角三角形．故当（且AC>BC）时可满足条件．其余等价的或类似的条件可以随读者想象．点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．例2．老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于，都有；乙：在上函数递减；丙：在上函数递增；丁：不是函数的最小值．4\n如果其中恰有三个人说得正确，请写出一个这样的函数：____________．讲解：首先看甲的话，所谓“对于，都有”，其含义即为：函数的图像关于直线对称．数形结合，不难发现：甲与丙的话相矛盾．（在对称轴的两侧，函数的单调性相反）因此，我们只需选择满足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）条件的函数即可．如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数，则需要认识到：所谓函数在上单调递减，并不是说函数的单调递减区间只有．考虑到关于直线的对称性，我们不妨构造函数，使之在上单调递减，这样，既不与乙的话矛盾，也满足丁所说的性质．如即可．如果希望找到满足乙、丙、丁条件的函数，则分段函数是必然的选择．如．点评：本题考查学生对于函数性质的理解和掌握．思考这样的问题，常常需要从熟悉的函数（一次、二次、反比例函数，指数、对数、三角函数等）入手，另外，分段函数往往是解决问题的关键．例3．对任意函数，，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据，经数列发生器输出；②若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去．现定义．（Ⅰ）若输入，则由数列发生器产生数列．请写出数列的所有项；（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；（Ⅲ）若输入时，产生的无穷数列满足：对任意正整数n，均有，求的取值范围．（Ⅳ）是否存在，当输入数据4\n时，该数列发生器产生一个各项均为负数的的无穷数列．讲解：（Ⅰ）对于函数，．若，代入计算可得：，故产生的数列只有三项．（Ⅱ）要使数列发生器产生一个无穷的常数数列，实际上是对于任意的正整数，都应该有．又．所以，只需令．解得：．由于题目实际上只要求找到产生“无穷常数数列”的一个充分条件，所以，令（或2）即可．此时必有＝1（或2）．事实上，相对于本题来讲，（或2）是产生“无穷常数数列”的充要条件（这是因为函数是一一对应）．如果把函数换成，请读者思考：有多少个满足条件的初值？（Ⅲ）要使得对任意正整数n，均有，我们不妨先探索上述结论成立的一个必要条件．即．事实上，不等式的解为或．（＊）所以，或．下面我们来研究这个条件是否充分．当时，，所以，虽然有，但此时，显然不符合题意．当时，由上可知：，且不难求得，以此类推，可知，必有：对任意正整数n，均有成立．综上所述，．由及（＊），不难得知：的取值范围为．4\n（Ⅳ）要求使得成立的初值．实质上是执果索因．令，则由不难解得．又由，可解得：．由此我们知道，如果，则必有．即与不可能同时小于0．故在本题的规则下，不可能产生各项均为负数的数列．点评：本题为条件探索型问题，执果索因，恰当运用分析法，寻找使结论成立的充分条件是解决这类问题的常用方法．4