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【师说 高中全程复习构想】(新课标)2022届高考数学 4.4 平面向量的应用练习
【师说 高中全程复习构想】(新课标)2022届高考数学 4.4 平面向量的应用练习
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【师说高中全程复习构想】(新课标)2022届高考数学4.4平面向量的应用练习一、选择题1.在△ABC中,有命题:①-=;②++=0;③若(+)·(-)=0,则△ABC为等腰三角形;④若·>0,则△ABC为锐角三角形.上述命题正确的是( )A.①② B.①④C.②③D.②③④解析:∵-==-≠,∴①错误.++=+=-=0,∴②正确.由(+)·(-)=2-2=0⇔||=||,∴△ABC为等腰三角形,③正确.·>0⇒cos〈,〉>0,即cosA>0,∴0°<A<90°,但不能确定B,C大小,∴不能判定△ABC是否为锐角三角形,∴④错误,故选C.答案:C2.已知点A、B的坐标为A(4,6)、B,与直线AB平行的向量的坐标可以是( )① ② ③ ④(-7,9)A.①②B.①③C.①②③D.①②③④解析:=,=-=-,=-=-,=.故选C.答案:C3.已知直线l与x,y轴分别相交于点A,B,=2i-3j(i,j分别是与轴x,y正半轴同方向的单位向量),则直线l的方程是( )A.3x-2y+6=0B.3x+2y+6=0C.2x+3y+6=0D.2x-3y+6=0解析:由于i,j分别是与轴x,y正半轴同方向的单位向量,所以=(2,-3),而A,B分别在x轴,y轴上,可得A(-2,0),B(0,-3),由此可得直线的方程为3x+2y+6=0.5\n答案:B4.如图所示,一个物体受到四个共点力作用,处于平衡状态,当三个力的大小和方向都不变而F4的方向顺时针转过90°,大小不变,这时该物体受到的合力的大小是( )A.0B.2|F4|C.|F4|D.|F4|解析:物体处于平衡状态,物体所受合外力为0,当F4的方向顺时针转过90°时,余下的三个力的合力与F4的大小相等、方向相反,即沿图中的OA方向.此时物体所受的力相当于是两个互相垂直的F4作用,所以物体受到的合力大小是|F4|.答案:C5.已知点O、A、B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且=,则( )A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上解析:由于2=3-,∴2-2=-,即2=.∴=,则点P在线段AB的反向延长线上,选B.答案:B6.在直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是( )A.||2=·B.||2=·C.||2=·D.||2=解析:对选项C,如图所示,·5\n=||·||·cos(π-∠ACD)=-||·||cos∠ACD=-||2≠||2.答案:C二、填空题7.通过点A(-1,2),且平行于向量a=(3,2)的直线方程为__________.解析:方法一:∵直线与a=(3,2)平行,∴直线斜率k=,∴直线方程为y-2=(x+1),即2x-3y+8=0.方法二:过点A且平行于向量的直线是唯一确定的,把这条直线记为l,在l上任取一点P(x,y),则∥a.如果点P不与点A重合,由向量平行,它们的坐标满足条件=,整理,得方程为2x-3y+8=0.方法三:设P(x,y)为所求直线上任意一点,由题意知∥a,而=(x+1,y-2),a=(3,2),∴(x+1)·2-(y-2)·3=0,化简得2x-3y+8=0,即为所求直线的方程.答案:2x-3y+8=08.在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为__________.解析:如图,渡船速度为,水流速度为,船实际垂直过江的速度为,依题意知,||=12.5,||=25,由于四边形OADB为平行四边形,则||=||,又OD⊥BD,∴在Rt△OBD中,∠BOD=30°,∴航向为北偏西30°.答案:北偏西30°9.已知A(2,-1),B(-1,1),O为坐标原点,动点M满足=m+n,其中m,n∈R且2m2-n2=2,则M的轨迹方程为__________.解析:设M(x,y),则=(x,y),又=(2,-1),=(-1,1),5\n∴由=m+n得(x,y)=(2m,-m)+(-n,n).于是由2m2-n2=2消去m,n得M的轨迹方程为x2-2y2=2.答案:x2-2y2=2三、解答题10.已知点P(-3,0),点A在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线AQ上,满足·=0,=-.当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程.解析:设点M(x,y)为轨迹上的任一点,且设A(0,b),Q(a,0)(a>0),则=(x,y-b),=(a-x,-y).∵=-.∴(x,y-b)=-(a-x,-y).∴a=,b=-,即A,Q.=,=.∵·=0,∴3x-y2=0.即所求轨迹方程为y2=4x(x>0).11.已知向量a=,b=,x∈.若函数f(x)=a·b-λ|a+b|的最小值为-,求实数λ的值.解析:∵|a|=1,|b|=1,x∈,∴a·b=coscos-sinsin=cos2x,|a+b|====2|cosx|=2cosx.∴f(x)=cos2x-λcosx=2cos2x-λcosx-1=22--1,cosx∈[0,1].①当λ<0时,取cosx=0,此时f(x)取得最小值,并且f(x)min=-1≠-,不合题意.②当0≤λ≤4时,取cosx=,此时f(x)取得最小值,并且f(x)min=--1=-,解得λ=2.5\n③当λ>4时,取cosx=1,此时f(x)取得最小值,并且f(x)min=1-λ=-,解得λ=,不符合λ>4舍去,∴λ=2.12.已知向量a=,b=,若存在不同时为零的实数k,t,使c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且c⊥d,|c|≤.(1)求函数解析式k=f(t);(2)求函数f(t)的单调区间.解析:(1)方法一:c=a+(t2-3)b=+(t2-3)=,d=-ka+tb=∵c⊥d,即c·d=0,得k=t3-3t.由|c|≤,∴c2=[a+(t2-3)b]2≤10,a2=1,b2=1,a·b=0,∴(t2-3)2+1≤10,∴t∈[-,].方法二:由|a|=1,|b|=1,a·b=0,c·d=-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]b2=-k+t3-3t=0,∴k=t3-3t(下同方法一).(2)f′(t)=3t2-3,令f′(t)=0,∴t=±1,t<-1时,f′(t)>0,∴f(t)在区间(-,-1)上单调递增;-1<t<1时,f′(t)<0,∴f(t)在区间(-1,1)上单调递减;t>1时,f′(t)>0,∴f(t)在区间(1,)上单调递增.5
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:23:47
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