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【师说 高中全程复习构想】(新课标)2022届高考数学 4.3 平面向量的数量积练习
【师说 高中全程复习构想】(新课标)2022届高考数学 4.3 平面向量的数量积练习
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【师说高中全程复习构想】(新课标)2022届高考数学4.3平面向量的数量积练习一、选择题1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=( )A.-12 B.-6C.6D.12解析:∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0∴10+2-k=0,解得k=12.答案:D2.设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-,则|a+2b|=( )A.B.C.D.解析:依题意得(a+2b)2=a2+4b2+4a·b=5+4×=3,则|a+2b|=,故选B.答案:B3.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,B=45°,AB=2CD=2,M为腰BC的中点,则·=( )A.1B.2C.3D.4解析:据题意可得·=·=-||2+·-·+·=-×()2+××1×cos135°-××2×1×cos135°+2×1×cos0°=--+1+2=2.答案:B4.已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题p1:|a+b|>1⇔θ∈[0,)p2:|a+b|>1⇔θ∈(,π]p3:|a-b|>1⇔θ∈[0,)p4:|a-b|>1⇔θ∈(,π]其中的真命题是( )A.p1,p4B.p1,p3C.p2,p3D.p2,p4解析:由|a+b|>1可得:a2+2a·b+b2>1,4\n∵|a|=1,|b|=1,∴a·b>-,故θ∈[0,).当θ∈[0,)时,a·b>-,|a+b|2=a2+2a·b+b2>1,即|a+b|>1;由|a-b|>1可得:a2-2a·b+b2>1,∵|a|=1,|b|=1,∴a·b<,故θ∈(,π],反之也成立,选A.答案:A5.若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( )A.-1B.1C.D.2解析:由已知条件,向量a,b,c都是单位向量可以求出,a2=1,b2=1,c2=1,由a·b=0,及(a-c)(b-c)≤0,可以知道,(a+b)·c≥c2=1,因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c,所以有|a+b-c|2=3-2(a·c+b·c)≤1,故|a+b-c|≤1.答案:B6.设A(a,1)、B(2,b)、C(4,5)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则a与b满足的关系式为( )A.4a-5b=3B.5a-4b=3C.4a+5b=14D.5a+4b=14解析:由图知,要使与在方向上的投影相同,只需使⊥,即(2-a,b-1)·(4,5)=0得4a-5b-3=0.答案:A二、填空题7.已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为________.解析:设a与b的夹角为θ,依题意有(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=-7+2cosθ=-6,所以cosθ=,因为0≤θ≤π,所以θ=.答案:8.已知单位向量e1,e2的夹角为60°,则|2e1-e2|=__________.解析:依题意得(2e1-e2)2=4e+e-4e1·e2=4+1-4×12×cos60°=3,故|2e1-e2|=.答案:4\n9.若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为,则α与β的夹角θ的取值范围是________.解析:如图,向量α与β在单位圆O内,其中因|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为,故以向量α,β为边的三角形的面积为,故β的终点在如图的线段AB(α∥且圆心O到AB的距离为)上,因此夹角θ的取值范围为[,].答案:[,]三、解答题10.已知=(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使⊥,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解析:设存在点M,且=λ=(6λ,3λ)(0<λ≤1),∴=(2-6λ,5-3λ),=(3-6λ,1-3λ).∵⊥,∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,即45λ2-48λ+11=0,解得λ=,或λ=.∴=(2,1),或=(,).∴存在M(2,1),或M(,)满足题意.11.(2022·佛山质检)设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b.解析:(1)因为a与b-2c垂直,所以a·(b-2c)=4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2.(2)由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得|b+c|==≤4.4\n又当β=-时,等号成立,所以|b+c|的最大值为4.(3)由tanαtanβ=16得=,所以a∥b.12.已知向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为π,且m·n=-1.(1)求向量n;(2)△ABC中三内角A、B、C依次成等差数列,若向量n=(0,-1),向量p=(cosA,2cos2),求|n+p|的取值范围.解析:(1)设n=(x,y),由m·n=-1,可得x+y=-1,①又m与n的夹角为π,有m·n=|m|·|n|·cosπ,则x2+y2=1,②由①、②解得或.∴n=(-1,0)或n=(0,-1).(2)由2B=A+C知B=,A+C=,0<A<,若n=(0,-1),则n+p=(cosA,2cos2-1)=(cosA,cosC),∴|n+p|2=cos2A+cos2C=+=1+[cos2A+cos(-2A)]=1+cos(2A+),∵0<A<,<2A+<,∴-1≤cos(2A+)<,≤1+cos(2A+)<,即|n+p|2∈[,),∴|n+p|∈[,).4
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:23:48
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