【步步高】2022届高考数学一轮复习 2.1.5 平面上两点间的距离备考练习 苏教版

2.1.5　平面上两点间的距离一、基础过关1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且AB＝5，则b＝________.2．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形为__________三角形．3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则AB＝________.4．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是__________．5．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得MA＋MB最短，则点M的坐标是________．6．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且PA＝PB，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为____________．7．证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．8．已知△ABC的顶点A(3，－1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线的方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程．二、能力提升9．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是_______．10．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．11．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长BC＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．12．△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且AB2＝AD2＋BD·DC.求证：△ABC为等腰三角形．三、探究与拓展13．已知直线l过点P(3,1)且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．-3-\n答案1．0或82．等腰3．24．4x－2y＝55．(1,0)6．x＋y－5＝07．证明　如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)，因为AB2＝a2，CD2＝a2，AD2＝b2＋c2，BC2＝b2＋c2，AC2＝(a＋b)2＋c2，BD2＝(b－a)2＋c2.所以AB2＋CD2＋AD2＋BC2＝2(a2＋b2＋c2)，AC2＋BD2＝2(a2＋b2＋c2)．所以AB2＋CD2＋AD2＋BC2＝AC2＋BD2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．8．解　设A关于∠B的平分线的对称点为A′(x0，y0)，则解得即A′(1,7)．设B的坐标为(4a－10，a)，所以AB的中点在直线6x＋10y－59＝0上，所以6×＋10×－59＝0，所以a＝5，即B(10,5)．由直线的两点式方程可得直线BC的方程为2x＋9y－65＝0.9.10．(2,10)或(－10,10)11．212．证明　作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系(如右图所示)．设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．因为AB2＝AD2＋BD·DC，所以，由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．-3-\n13．解　方法一　若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与直线l1，l2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段AB的长为AB＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，分别与直线l1，l2的方程联立，由，解得A.由，解得B，由两点间的距离公式，得2＋2＝25，解得k＝0，即所求直线方程为y＝1.综上可知，直线l的方程为x＝3或y＝1.方法二　设直线l与直线l1，l2分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0，两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5①又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25②联立①②可得或，由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x＝3或y＝1.-3-