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【步步高】2022届高考数学一轮复习 §3.4 导数在实际生活中的应用备考练习 苏教版

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§3.4 导数在实际生活中的应用一、基础过关1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是________.2.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时底面边长为________.3.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为________cm3.4.用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接成水箱,则水箱最大容积为________.5.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则其高为________cm.6.如图所示,某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁.当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为________.二、能力提升7.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________千米处.8.为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长为a米,高为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,问当a=________,b=________时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计).9.如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?10.某商场预计2022年从1月份起前x个月,顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是-5-\np(x)=x(x+1)(39-2x)(x∈N*,且x≤12).该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是q(x)=150+2x(x∈N*,且x≤12),(1)写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式;(2)该商品每件的售价为185元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元?11.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20km/h时,每小时消耗的煤价值40元,其他费用每小时需200元,火车的最高速度为100km/h,火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?三、探究与拓展12.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.-5-\n答案1.-12.3.1444.128000cm35.6.32米,16米7.58.6 39.解 设广告的高和宽分别为xcm,ycm,则每栏的高和宽分别为x-20,,其中x>20,y>25.两栏面积之和为2(x-20)·=18000,由此得y=+25.广告的面积S=xy=x(+25)=+25x.∴S′=+25=+25.令S′>0得x>140,令S′<0得20<x<140.∴函数在(140,+∞)上单调递增,在(20,140)上单调递减,∴S(x)的最小值为S(140).当x=140时,y=175.即当x=140,y=175时,S取得最小值为24500,故当广告的高为140cm,宽为175cm时,可使广告的面积最小.10.解 (1)当x=1时,f(1)=p(1)=37;当2≤x≤12时,f(x)=p(x)-p(x-1)=x(x+1)(39-2x)-(x-1)x(41-2x)=-3x2+40x(x∈N*,且2≤x≤12).-5-\n验证x=1符合f(x)=-3x2+40x,∴f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且1≤x≤12).(2)该商场预计销售该商品的月利润为g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x)=6x3-185x2+1400x(x∈N*,1≤x≤12),g′(x)=18x2-370x+1400,令g′(x)=0,解得x=5,x=(舍去).当1≤x<5时,g′(x)>0;当5<x≤12时,g′(x)<0,∴当x=5时,g(x)max=g(5)=3125(元).综上5月份的月利润最大是3125元.11.解 设速度为xkm/h,甲、乙两城距离为akm.则总费用f(x)=(kx3+200)·=a(kx2+).由已知条件,得40=k·203,∴k=,∴f(x)=a(x2+).令f′(x)==0,得x=10.当0<x<10时,f′(x)<0;当10<x<100时,f′(x)>0.∴当x=10时,f(x)有最小值,即速度为10km/h时,总费用最少.12.解 (1)设容器的容积为V,由题意知V=πr2l+πr3,又V=,故l==-r=(-r).由于l≥2r,因此0<r≤2.-5-\n所以建造费用y=2πrl×3+4πr2c=2πr×(-r)×3+4πr2c,因此y=4π(c-2)r2+,0<r≤2.(2)由(1)得y′=8π(c-2)r-=(r3-),0<r≤2.由于c>3,所以c-2>0.当r3-=0时,r=.令=m,则m>0,所以y′=(r-m)(r2+rm+m2).①当0<m<2,即c>时,令y′=0,得r=m.当r∈(0,m)时,y′<0;当r∈(m,2]时,y′>0,所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.②当m≥2,即3<c≤时,当r∈(0,2]时,y′≤0,函数单调递减,所以r=2是函数y的最小值点.综上所述,当3<c≤时,建造费用最小时r=2;当c>时,建造费用最小时r=.-5-

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发布时间:2022-08-25 15:30:02 页数:5
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文章作者:U-336598

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