【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习 第七章 不等式 基本不等式 理（含2022试题）

【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第七章不等式基本不等式理（含2022试题）理数1.(2022四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)A.2B.3C.D.[答案]1.B[解析]1.依题意不妨设A(x1,),B(x2,-),·=2⇒x1x2-=2⇒=2或=-1(舍去).当x1=x2时,有x1=x2=2,则S△ABO+S△AFO=2+=;当x1≠x2时,直线AB的方程为y-=(x-x1),则直线AB与x轴的交点坐标为(2,0).于是S△ABO+S△AFO=×2×(+)+×=+≥2=3当且仅当=时取“=”,而>3.故选B.2.（2022重庆一中高三下学期第一次月考，4）已知实数满足，则的值域为（ ）（A）    （B）    （C）    （D）[答案]2. C[解析]2. 由得，所以.3.(2022湖北黄冈高三4月模拟考试，7)若实数、、满足，则的取值范围是（  ）  A.8\nB.    C.     D. [答案]3. A[解析]3.因为，所以，所以，即；又因为，所以，所以的取值范围是.4.(2022河南郑州高中毕业班第一次质量预测,10)已知，是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值是（  ）A.2    B.    C.4    D.[答案]4. B[解析]4.是互相垂直的单位向量，设，，，由，，即，，，，，，当且仅当时取等号，，故的最小值为.5.(2022四川,14,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.[答案]5.5[解析]5.易知A(0,0),B(1,3),且PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,∴|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|时取“=”).6.(2022福建,13,4分)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________(单位:元).8\n[答案]6.160[解析]6.设底面的边长分别为xm,ym,总造价为T元,则V=xy·1=4⇒xy=4.T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)≥80+20×2=80+20×4=160.(当且仅当x=y时取等号)故该容器的最低总造价是160元.7.(2022湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.(Ⅰ)当f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;(Ⅱ)当f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)[答案]7.(Ⅰ)　(Ⅱ)x[解析]7.(Ⅰ)若Mf(a,b)是a,b的几何平均数,则c=.由题意知,(a,f(a)),(,0),(b,-f(b))共线,∴=,∴=,∴可取f(x)=.(Ⅱ)若Mf(a,b)是a,b的调和平均数,则c=,由题意知,(a,f(a)),,(b,-f(b))共线,∴=,化简得=,∴可取f(x)=x.8.(2022陕西,15(A),5分)A.(不等式选做题)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为________.[答案]8.[解析]8.根据柯西不等式得=·≥|ma+nb|=,当且仅当=(a2+b2=5,ma+nb=5),即m=a=n=b=时取等号,故的最小8\n值为.9.(2022山东青岛高三第一次模拟考试,14)已知均为正实数，且，则的最小值为__________.[答案]9. 9[解析]9. 因为均为正数，且，所以，解得或（舍去），所以9，当且仅当时取等号.故的最小值为9.10.(2022广东广州高三调研测试，12)已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是_______.[答案]10.[解析]10. 由导数的几何意义，又因为，所以，故.11.（2022山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，13）若，则的最大值为    ．[答案]11. [解析]11. (当且仅当时等号成立).12.（2022湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，12）已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,则的最小值为    ．8\n[答案]12. 18[解析]12. ，而，所以的最小值为18.13.(2022湖南株洲高三教学质量检测（一），10)已知是内的一点，且，，若，和的面积分别为，，，则的最小值是         .[答案]13. 18[解析]13. 由已知得，，，即，而.14.(2022天津七校高三联考,12)若点(-2,-1)在直线上，其中，则的最小值为        ．[答案]14.  8[解析]14.  点在直线上，，即，又，，当且仅当，即时取等号.故的最小值为8.15.(2022广州高三调研测试,12)已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是    ．[答案]15. [解析]15. ，又，，即的取值范围是.16.(2022江苏苏北四市高三期末统考,21C)在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以8\n为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为.由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.[答案]16.查看解析[解析]16.因为圆的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,（4分）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C引切线长是，所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是.（10分）D.(2022江苏苏北四市高三期末统考,21D)已知均为正数,证明：. 证法一  因为均为正数，由均值不等式得，因为，所以.（5分）故.又3，所以原不等式成立.（10分）   证法二 因为均为正数，由基本不等式得，，.所以.同理，（5分）所以.所以原不等式成立.（10分）17.(2022江苏苏北四市高三期末统考,17)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同8\n心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）. （Ⅰ）求关于的函数关系式； （Ⅱ）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？[答案]17.查看解析[解析]17.   解析（Ⅰ）设扇环的圆心角为q，则，所以，（4分）   （Ⅱ）花坛的面积为.装饰总费用为，（9分）所以花坛的面积与装饰总费用的比，令，则，当且仅当t=18时取等号，此时.答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.（14分）(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)18.（本题满分12分）设关于不等式的解集为，且，.（1）,恒成立，且，求的值；（2）若，求的最小值并指出取得最小值时的值.[答案]18.查看解析[解析]18.（1），，即,，8\n又.         (5分)（2）,当且仅当，即时上式取等号又所以，的最小值是，取最小值时.   (12分)8