【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习 第十四章 推理与证明 理（含2022试题）

【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第十四章推理与证明理（含2022试题）理数1.(2022山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(　　)A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根[答案]1.A[解析]1.因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.2.(2022北京,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有(　　)A.2人B.3人C.4人D.5人[答案]2.B[解析]2.设学生人数为n,因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况,所以当n≥4时,语文成绩至少有两人相同,若此两人数学成绩也相同,与“任意两人成绩不全相同”矛盾;若此两人数学成绩不同,则此两人有一人比另一人成绩好,也不满足条件.因此:n<4,即n≤3.当n=3时,评定结果分别为“优秀,不合格”“合格,合格”“不合格,优秀”,符合题意,故n=3,选B.3.（2022广东汕头普通高考模拟考试试题，8）设）为平面直角坐标系上的两点，其中.令,,若,且，则称点B为点A的“相关点”，记作：,已知）为平面上一个定点，平面上点列满足：=，且点的坐标为，其中,则点的相关点”有（ ）个A.4     B.6     C.8     D.10[答案]3.C [解析]3. 因为为非零整数）故或，所以点的相关点有8个.4.(2022陕西,15(B),5分)B.(几何证明选做题)如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF=________.17\n[答案]4.3[解析]4.∵四边形BCFE内接于圆,∴∠AEF=∠ACB,又∠A为公共角,∴△AEF∽△ACB,∴=,又∵BC=6,AC=2AE.∴EF=3.5.(2022陕西,14,5分)观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是________________.[答案]5.F+V-E=2[解析]5.观察表中数据,并计算F+V分别为11,12,14,又其对应E分别为9,10,12,容易观察并猜想F+V-E=2.6.(2022课表全国Ⅰ，14，5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.[答案]6.A[解析]6.由于甲、乙、丙三人去过同一城市,而甲没有去过B城市,乙没有去过C城市,因此三人去过同一城市应为A,而甲去过的城市比乙多,但没去过B城市,所以甲去过的城市数应为2,乙去过的城市应为A.7.(2022福州高中毕业班质量检测,15)已知函数,若数列满足,且的前项和为,=   .[答案]7. 8042[解析]7. 依题意，，，17\n，，，，，，…所以，，猜想，所以.8.(2022湖北黄冈高三4月模拟考试，14)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1,1,2,3,5,8,13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，该书咧是一个非常美丽和谐的数列.有很多奇妙的属性.比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…，人们称该数列为“斐波那契数列”.若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2022项的值为          ；数列中，第2022个值为1的项的序号是       .[答案]8. 3  4027[解析]8. 因为是周期为6的周期数列，前6项为：1，1，2，3，1，0，所以第2022=6×335+4项的值是3；因为每个周期内含有三个1，2022=3×671+1，所以第2022个值为1的项的序号是6×671+1=4027.9.(2022黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，13)已知，由不等式，,，归纳得到推广结论：17\n，则实数________.[答案]9.[解析]9. 又已知不等式得到的推广结论，得当时；当时；当时；…；由归纳推理可知，.10.（2022江西红色六校高三第二次联考理数试题，13）对任意正整数，定义的双阶乘如下：当为偶数时，；当为奇数时，`。现有四个命题：①；②；③个位数为0；④个位数为5。其中正确命题的序号有______________.[答案]10. ①③④[解析]10. 由定义可知，，所以，故①正确，②错误；，所以其个位数为0，故③正确；，为奇数，因为任何奇数乘以5，各位都为5，所以的个位数为5，故④正确.11.（2022江西红色六校高三第二次联考理数试题，11）观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为　　．[答案]11. [解析]11. 观察可得不等式左边的分母被开方数满足6－2、12－6成等差数列，不等式右边1,2,3也成等差数列，所以第5个不等式为.17\n12.(2022湖北武汉高三2月调研测试，13)如下图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小正方形个数为f(n)，则（Ⅰ）f(5)＝  ；（Ⅱ）f(n)＝　　 ．[答案]12. （1）41；（2）2n2－2n＋1[解析]12. （1）（2）＝13.(2022广东,19,14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{an}的通项公式.[答案]13.查看解析[解析]13.(1)依题有解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)∵Sn=2nan+1-3n2-4n,①∴当n≥2时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).②①-②并整理得an+1=.由(1)猜想an=2n+1,下面用数学归纳法证明.当n=1时,a1=2+1=3,命题成立;假设当n=k时,ak=2k+1命题成立.则当n=k+1时,ak+1===2k+3=2(k+1)+1,即当n=k+1时,结论成立.17\n综上,∀n∈N*,an=2n+1.14.(2022陕西,21,14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf'(x),x≥0,其中f'(x)是f(x)的导函数.(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅲ)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.[答案]14.查看解析[解析]14.由题设得,g(x)=(x≥0).(Ⅰ)由已知,g1(x)=,g2(x)=g(g1(x))==,g3(x)=,…,可得gn(x)=.下面用数学归纳法证明.①当n=1时,g1(x)=,结论成立.②假设n=k时结论成立,即gk(x)=.那么,当n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x))===,即结论成立.由①②可知,结论对n∈N+成立.(Ⅱ)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥恒成立.设φ(x)=ln(1+x)-(x≥0),即φ'(x)=-=,当a≤1时,φ'(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立),∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0,∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,17\n∴a≤1时,ln(1+x)≥恒成立(仅当x=0时等号成立).当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ'(x)<0,∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减,∴φ(a-1)<φ(0)=0.即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,故知ln(1+x)≥不恒成立,综上可知,a的取值范围是(-∞,1].(Ⅲ)由题设知g(1)+g(2)+…+g(n)=++…+,n-f(n)=n-ln(n+1),比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1).证明如下:证法一:上述不等式等价于++…+<ln(n+1),在(Ⅱ)中取a=1,可得ln(1+x)>,x>0.令x=,n∈N+,则<ln.下面用数学归纳法证明.①当n=1时,<ln2,结论成立.②假设当n=k时结论成立,即++…+<ln(k+1).那么,当n=k+1时,++…++<ln(k+1)+<ln(k+1)+ln=ln(k+2),即结论成立.由①②可知,结论对n∈N+成立.证法二:上述不等式等价于++…+<ln(n+1),在(Ⅱ)中取a=1,可得ln(1+x)>,x>0.17\n令x=,n∈N+,则ln>.故有ln2-ln1>,ln3-ln2>,……ln(n+1)-lnn>,上述各式相加可得ln(n+1)>++…+.结论得证.证法三:如图,dx是由曲线y=,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而++…+是图中所示各矩形的面积和,∴++…+>dx=dx=n-ln(n+1),结论得证.15.(2022安徽,21,13分)设实数c>0,整数p>1,n∈N*.(Ⅰ)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px;(Ⅱ)数列{an}满足a1>,an+1=an+.证明:an>an+1>.[答案]15.查看解析[解析]15.(Ⅰ)证明:用数学归纳法证明:①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立.当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.所以p=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x>-1,x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立.17\n(Ⅱ)证法一:先用数学归纳法证明an>.①当n=1时,由题设a1>知an>成立.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式ak>成立.由an+1=an+易知an>0,n∈N*.当n=k+1时,=+=1+.由ak>>0得-1<-<<0.由(Ⅰ)中的结论得=>1+p·=.因此>c,即ak+1>.所以n=k+1时,不等式an>也成立.综合①②可得,对一切正整数n,不等式an>均成立.再由=1+可得<1,即an+1<an.综上所述,an>an+1>,n∈N*.证法二:设f(x)=x+x1-p,x≥,则xp≥c,并且f'(x)=+(1-p)x-p=>0,x>.由此可得,f(x)在[,+∞)上单调递增.因而,当x>时,f(x)>f()=,①当n=1时,由a1>>0,即>c可知a2=a1+=a1<a1,并且a2=f(a1)>,从而a1>a2>.17\n故当n=1时,不等式an>an+1>成立.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式ak>ak+1>成立,则当n=k+1时,f(ak)>f(ak+1)>f(),即有ak+1>ak+2>.所以n=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,对一切正整数n,不等式an>an+1>均成立.16.(2022江苏,23,10分)已知函数f0(x)=(x>0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*.(1)求2f1+f2的值;(2)证明:对任意的n∈N*,等式=都成立.[答案]16.查看解析[解析]16.(1)由已知,得f1(x)=f'0(x)='=-,于是f2(x)=f'1(x)='-'=--+,所以f1=-,f2=-+.故2f1+f2=-1.(2)证明:由已知,得xf0(x)=sinx,等式两边分别对x求导,得f0(x)+xf'0(x)=cosx,即f0(x)+xf1(x)=cosx=sin,类似可得2f1(x)+xf2(x)=-sinx=sin(x+π),3f2(x)+xf3(x)=-cosx=sin,4f3(x)+xf4(x)=sinx=sin(x+2π).下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的n∈N*都成立.(i)当n=1时,由上可知等式成立.17\n(ii)假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin.因为[kfk-1(x)+xfk(x)]'=kf'k-1(x)+fk(x)+xf'k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),'=cos·'=sin,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin.因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的n∈N*都成立.令x=,可得nfn-1+fn=sin(n∈N*).所以=(n∈N*).17.(2022北京,20,13分)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),记T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),其中max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}表示Tk-1(P)和a1+a2+…+ak两个数中最大的数.(Ⅰ)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(Ⅱ)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小;(Ⅲ)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)[答案]17.查看解析[解析]17.(Ⅰ)T1(P)=2+5=7,T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.(Ⅱ)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').当m=d时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P').所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P')都成立.(Ⅲ)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小,T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.18.(2022北京东城高三第二学期教学检测，20)在数列，中，，17\n，且成等差数列，成等比数列（）.（Ⅰ）求，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：.[答案]18.查看解析[解析]18.（Ⅰ）由条件得，由此可得.猜测.（4分）用数学归纳法证明：①当时，由上可得结论成立.②假设当时，结论成立，即，那么当时，.所以当时，结论也成立.由①②，可知对一切正整数都成立.（7分）（Ⅱ）因为.当时，由（Ⅰ）知.所以.17\n综上所述，原不等式成立.(12分）19.（2022江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，21）已知函数．（1）当时，证明对任意的；（2）求证：．（3）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．[答案]19.查看解析[解析]19.（2）根据（1）的结论，当时，，即．令，则有，　　   ………………………7分．即．…8分(本问也可用数学归纳法证明.)③当时，，设的两根分别为与，17\n则，，不妨设当及时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，而所以时，，且因此函数在有一个零点，而在上无零点；此时函数只有一个零点；综上，函数只有一个零点时，实数a的取值范围为R．………………………14分20.(2022湖北武汉高三2月调研测试，22)（Ⅰ）已知函数f(x)＝ex－1－tx，∃x0∈R，使f(x0)≤0，求实数t的取值范围；[答案]20.查看解析[解析]20.（Ⅰ）若t＝0，f(x)＝ex－1＞0，不合题意；若t＞0，只需f(x)min≤0．求导数，得f′(x)＝ex－1－t．令f′(x)＝0，解得x＝lnt＋1．当x＜lnt＋1时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，lnt＋1)上是减函数；当x＞lnt＋1时，f′(x)＞0，∴f(x)在(lnt＋1，＋∞)上是增函数．故f(x)在x＝lnt＋1处取得最小值f(lnt＋1)＝t－t(lnt＋1)＝－tlnt．∴－tlnt≤0，由t＞0，得lnt≥0，∴t≥1．综上可知，实数t的取值范围为(－∞，0)∪[1，+∞)．…………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f(x)≥f(lnt＋1)，即ex－1－tx≥－tlnt．取t＝1，ex－1－x≥0，即x≤ex－1．当x＞0时，lnx≤x－1，当且仅当x＝1时，等号成立，故当x＞0且x≠1时，有lnx＜x－1．17\n21.(2022湖南株洲高三教学质量检测（一），21)设函数.   （Ⅰ）求函数的单调区间   (Ⅱ)若函数有两个零点，，且，求证：[答案]21.查看解析[解析]21. （Ⅰ），当时，，函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为， （4分）17\n当时，由，得；由，得所以函数的单调增区间为，单调减区间为  ，   （6分）   (Ⅱ)因为是函数的两个零点，有则，两式相减得即所以，又因为，当时，；当时，故只要证即可，即证明, （10分）即证明，即证明，设.令，则，因为，所以，当且仅当时，所以在是增函数；又因为，所以当时，总成立.所以原题得证.　　　　   (13分)22.(2022北京东城高三12月教学质量调研)若数列满足：对任意，只有有限个正整数m使得成立，记这样的m的个数为，则得到一个新数列.例如，若数列是1，2，3……，n……，则数列是0，1，2，……，n-1…….已知对任意的，an=n2，则=      ，=        .[答案]22. 2 [解析]22. ，而，，2，，，，，，，，，，，，，，，，，，17\n，，，，猜想.17