【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习 第十一章 计数原理 排列与组合 理（含2022试题）

【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第十一章计数原理排列与组合理（含2022试题）理数1.(2022大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有(　　)A.60种　　B.70种　　C.75种　　D.150种　　[答案]1.C[解析]1.从6名男医生中选出2名有种选法,从5名女医生中选出1名有种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有·=75种.故选C.2.(2022重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是(　　)A.72B.120C.144D.168[答案]2.B[解析]2.先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有·=144种,再剔除小品类节目相邻的情况,共有··=24种,于是符合题意的排法共有144-24=120种.3.(2022广东,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为(　　)A.60B.90C.120D.130[答案]3.D[解析]3.设t=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|,t=1说明x1,x2,x3,x4,x5中有一个为-1或1,其他为0,所以有2·=10个元素满足t=1;t=2说明x1,x2,x3,x4,x5中有两个为-1或1,其他为0,所以有×2×2=40个元素满足t=2;t=3说明x1,x2,x3,x4,x5中有三个为-1或1,其他为0,所以有×2×2×2=80个元素满足t=3,从而,共有10+40+80=130个元素满足1≤t≤3.故选D.4.(2022福建,10,5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)[答案]4.A[解析]4.从5个有区别的黑球取k个的方法数为,故可用(1+c)5的展开式中ck的系数10\n表示.又所有的蓝球都取或都不取用1+b5表示.再由乘法原理知,符合题意的取法可由(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5表示.5.(2022安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有(　　)A.24对　　B.30对　　C.48对　　D.60对[答案]5.C[解析]5.利用正方体中两个独立的正四面体解题,如图,它们的棱是原正方体的12条面对角线.一个正四面体中两条棱成60°角的有(-3)对,两个正四面体有(-3)×2对.又正方体的面对角线中平行成对,所以共有(-3)×2×2=48对.故选C.6.(2022辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(　　)A.144B.120C.72D.24[答案]6.D[解析]6.先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有=24种放法,故选D.7.(2022山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，10)航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）A．12种　　　　　　　　B.16种　　　　    C.24种　　　　   D.36种   [答案]7. D[解析]7. 甲、乙两机必须相邻着舰的方法有种；甲、乙两机必须相邻着舰、甲、丁两机也相邻着舰的方法有，所以满足题意的着舰方法有种.8.(2022山西太原高三模拟考试（一），6)有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是(  )A.24　　B.48　　C.72　　D.96[答案]8. B[解析]8. 除杂法.先考虑语文书不相邻，其排法有除杂：在语文书不相邻而数学书相邻的排法有：，所以满足题意的排法有种.9.(2022山东青岛高三第一次模拟考试,8)在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序和在实施时必须相邻，10\n则实验顺序的编排方法共有（  ）A．种    B．种　　  C．种　　   D．种[答案]9. C[解析]9.本题是一个分步计数问题，因为由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有种结果因为程序B和C实施时必须相邻，所以把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有种结果，根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．10.(2022重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，8)有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务的不同选法有(   )种A．1260　　 B．2025　　   C．2520　　D．5040[答案]10. C[解析]10. 按分步计数原理考虑：第一步安排甲任务有种方法，第二步，安排乙任务有种方法，第三步安排丙任务有种方法，所以总共有种方法.11.(2022山东实验中学高三第一次模拟考试，9)八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，恰好有三个连续的小球涂红色，则涂法共有（　　）A.24种　　B.30种　　C.20种　　D.36种[答案]11.A [解析]11. 先把3个涂红色的小球捆绑，作为一体，再把3个涂白色的小球排起来.第一步：把捆绑的小球插入3个涂白色的小球中有4种选择；第二步：把剩下的2个红色小球插入：2个红色小球分开有3种插法，在一起也有3种插法，所以涂法有种.12.（2022广东汕头普通高考模拟考试试题，6）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）A.4种       B.10种    C.18种       D.20种[答案]12.B [解析]12. 分两类：一是取出1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有种；二是取出2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有种，故赠送方法共有10种.10\n13.（2022江西红色六校高三第二次联考理数试题，6）某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。每车限坐4名同学[(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有（  　）A．24种  　B．18种    C．48种       D．36种[答案]13. A[解析]13. 甲车的人员一旦确定，乙车的人员也随之确定下来.第一类，大一的孪生姐妹乘坐甲车，则另外两人的选择有种;第二类：大一的孪生姐妹乘坐乙车，则甲车的人员选择有种；根据分类加法原理可得乘坐方式共有12+12=24种.14.（2022吉林实验中学高三年级第一次模拟，6）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（    ）A．　　　　B．       C．　　　　D．[答案]14. D[解析]14. 从18个选手中任选3人的选法有种选法，由数字1，2，3，…，18构成的以3为公差的等差数列其等差中项只能是4、5、….、15，每个等差中项对应1个等差数列，所以以3为公差的等差数列共有：12个，所以所求概率为.15.(2022广西桂林中学高三2月月考，5)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（   ）(A)28           (B)49            (C)56            (D)85[答案]15. B[解析]15. 依题意，满足条件的不同选法的种数为种.16.(2022吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，8)计划将排球、篮球、乒乓球个项目的比赛安排在个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过个的安排方案共有（ ）A．种　　　　B．种　　　　C．种　　　　　　D．种[答案]16. [解析]16. 若个项目分别安排在不同的场馆，则安排方案共有种；若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有种；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有种.故选10\n17.(2022湖北八市高三下学期3月联考，6)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有’5架舰载机准备着舰．如果甲乙2机必须相邻着舰，而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（  ）种 A．12　　  B．18　　  C．24　　  D．48[答案]17. C[解析]17. “相邻”问题用捆绑法，“不相邻”问题用插空法．先安排丙丁以外三架，有种排法；此时产生三个空位，安排丙丁，共有种排法，所以不同的着舰方法有种排法.18.(2022河北衡水中学高三上学期第五次调研考试,12)数列共有12项，其中，，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为（）A.84B.168C.76D.152[答案]18.A[解析]18.由知相邻两项相差，从到共4次的运算，使0变成2，需要3次，1次，故有种方法；从到共7次的运算，使2变成5，需要5次，2次，故有种方法；由分步乘法原理得：有种可能，即有84个不同数列.19.(2022成都高中毕业班第一次诊断性检测，7)世界华商大会的某分会场有A，B，C，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲，乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（  ）（A）12种　　（B）10种  （C）8种　　（D）6种　　　　　　　　　　     [答案]19. D[解析]19.把甲乙看作一人再与丙丁分到三个展台有种方法.20.(2022兰州高三第一次诊断考试,7)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有(  )种.A.150           B.300C.600            D.900[答案]20. C[解析]20.分两步，第一步，先选4名教师，又分两类：第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有种不同的方法，第二类，甲不去，则丙一定去，乙可能去也可能不去，有种不同的方法，不同的选法有种.第二步，四名教师去4个边远地区支教，有种方法，10\n最后由乘法原理，共有种不同的方法.21.(2022福建,15,4分)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是________.[答案]21.6[解析]21.∵{a,b,c,d}={1,2,3,4},故a,b,c,d互异.若只有①正确,则a=1,b=1,c≠2,d=4,矛盾.故①不正确;若只有②正确,则a≠1,b≠1,c≠2,d=4,从而c=1,{a,b}={2,3},所以共有两个符合条件的有序数组;若只有③正确,则a≠1,b=1,c=2,d=4,从而a=3,所以只有一个符合条件的有序数组;若只有④正确,则a≠1,b=1,c≠2,d≠4,满足条件的(a,b,c,d)有(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2),共三个.综上,共有6个符合条件的有序数组.22.(2022浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答).(2)有三个人各获得一张有奖奖券,有=24种获奖情况.[答案]22.60[解析]22.不同的获奖情况可分为以下两类:(1)有一个人获得两张有奖奖券,另外还有一个人获得一张有奖奖券,有=36种获奖情况.故不同的获奖情况有36+24=60种.23.(2022北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.[答案]23.36[解析]23.记5件产品为A、B、C、D、E,A、B相邻视为一个元素,先与D、E排列,有种方法;再将C插入,仅有3个空位可选,共有=2×6×3=36种不同的摆法.24.(2022天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，16)五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染的颜色不相同，则不同的染色方法有　　 　　种。[答案]24. 30[解析]24. 随即挑一个点开始涂：种；第二个点：，第三个点就要讨论了：（1）涂的是第三种颜色：①第四个点涂的是第一个点的颜色，那么第五个点就有两种涂法:(第一个点和第四个点这两个相邻的点颜色相同）；②第四个点涂的是第二个点的颜色，那么第五个点就只能图第三个点的颜色。（2）涂的是第一个点的颜色，最后两个点两种颜色各图10\n一个点，2种.综上：N=（2+1+2）=30（种）.25.(2022福州高中毕业班质量检测,11)5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为      .(用数字作答)[答案]25. 96[解析]25. 依题意，5名同学排成一列，某个同学不排排头的排法种数为种.26.(2022广东广州高三调研测试，13)有4名优秀学生，，，全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有_______种.[答案]26.36 [解析]26. 分两步进行，先把4名学生分为2+1+1的三组，有种分法，再将3组对应3个学校，有种情况，则共有种保送方案.27.(2022黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，14)五名三中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有两名同学拿对自己衣服的不同情况有种.(具体数字作答)[答案]27. 20[解析]27.  依题意，不同的情况共有种.28.(2022重庆铜梁中学高三1月月考试题，13)有9名翻译人员，其中6人只能做英语翻译，2人只能做韩语翻译，另外1人既可做英语翻译也可做韩语翻译.要从中选5人分别接待5个外国旅游团，其中两个旅游团需要韩语翻译，三个需要英语翻译，则不同的选派方法为_______________种方法.[答案]28.900[解析]28. 分三类：①不选全能的人，有种不同方法；②全能的人做韩语翻译，有种不同方法；③全能的人做英语翻译，有种不同方法，有分类计数原理知不同若选派方法有种.29.（2022湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，14）数学与文学之间存在着许多奇妙的联系.诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个；由此推测：11位的回文数总共有　　　     个．[答案]29. 900000[解析]29. 根据回文数的特征可知，欲确定11位的回文数，只需确定前6位即可，后5位与前5位数字完全相同，根据排列组合的知识可得前6位数字的选法有.10\n30.(2022重庆五区高三第一次学生调研抽测，13)任取集合中的三个不同数，且满足，,则选取这样三个数的方法共有        种.（用数字作答）[答案]30. [解析]30. 由题设得：.显然，.当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，共10种.31.(2022广州高三调研测试,13)有4名优秀学生，，，全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有    种．[答案]31. 24[解析]31. 依题意，4名学生全部分到甲，乙，丙三个学校，所学校至少去一名，则有一个学校比保送2名，故不同的报送方案有种.32.(2022湖北黄冈高三期末考试)在电视节目《爸爸去哪儿》中，五位爸爸个带一名子（女）体验乡村生活.一天，村长安排1名爸爸带3名小朋友去完成某项任务，至少要选1个女孩（5个小朋友中3男2女）,Kimi(男）说我爸爸去我就去，我爸爸不去我就不去；石头（男）生爸爸的气，说我爸爸去我就不去，我爸爸不去，我就去；其他人没意见，那么可选的方案有       种.[答案]32.12[解析]32. 五个爸爸带一名子女取农村体验生活，村长安排、1名爸爸带3个小朋友去完成某项任务，至少选1名女孩（3男2女）.（男）说我爸爸去我就去，我爸爸不去我就不去，石头（男）生爸爸的气，说我爸爸去我就不去，我爸爸不去我一定去，设1,2,3,4,分别代表5个家庭的孩子，1号家庭（），2号家庭（石头），4,5号家庭是女孩.①4,5号女孩都去，若2号家庭的爸爸去只有1种选法，即3,4,5.若3号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,4,5.若4号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,4,5.若5号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,4,5.②4号女孩去若1号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,3,4.若3号家庭的爸爸去只有1种选法，即2,3,4.若4号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,3,4.若5号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,3,4.②5号女孩去若1号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,3,4.若3号家庭的爸爸去只有1种选法，即2,3,4.10\n若4号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,3,4.若5号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,3,4.故共有种选法.33.(2022重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，18)（Ⅰ）用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?（Ⅱ）用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；②记花圃中红色鲜花区域的块数为S，求它的分布列及其数学期望E(S).[答案]33.查看解析[解析]33.（Ⅰ）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：种．2分（Ⅱ）①设表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图二，当区域、同色时，共有种；当区域、不同色时，共有种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.（4分）由于只有、，、可能同色，故可按选用3色、4色、5色分类计算，求出基本事件总数为种）它们是等可能的.又因为、为红色时，共有种；、为红色时，共有种；因此，事件包含的基本事件有：36+36=72种．所以，=．    (8分)10\n②随机变量的分布列为：012P所以，=．（12分）34.（本题满分12分）某英语学习小组共12名同学进行英语听力测试，随机抽取6名同学的测试成绩（单位：分），用茎叶图记录如下，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）成绩高于样本均值的同学为优秀，根据茎叶图估计该小组12名同学中有几名优秀同学；（3）从该小组12名同学中任取2人，求仅有1人是来自随机抽取6人中优秀同学的概率.[答案]34.查看解析[解析]34.（1）由题意可知,样本均值.(3分)（2）样本中成绩高于样本均值的同学共有2名,可以估计该小组12名同学中优秀同学的人数为:.(7分)（3）从该小组12名同学中,任取2人有种方法,而恰有1名优秀同学有所求的概率为:.    (12分)10