全国版2023高考数学一轮复习第11章计数原理第1讲两个计数原理排列与组合试题1理含解析2023031619

第十一章计数原理第一讲　两个计数原理、排列与组合练好题·考点自测1.下列结论中,正确的个数为(　　)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列;(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序;(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同;(4)若组合式Cnx=Cnm,则x=m成立;(5)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m);(6)排列的定义规定,给出的n个元素各不相同,并且只研究被取出的元素也各不相同的情况,即如果某个元素已被取出,则这个元素就不再取了.A.2B.3C.4D.52.[2020山东,3,5分]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(　　)A.120种B.90种C.60种D.30种3.[2021广东七校第一次联考]有A,B,C,D,E,F共6个集装箱,准备用甲、乙、丙三辆卡车运送,每辆卡车一次运两个.若卡车甲不能运A箱,卡车乙不能运D箱,此外无其他任何限制,要把这6个集装箱分配给这3辆卡车运送,不同的分配方案的种数为(　　)A.168B.84C.56D.424.[2020全国卷Ⅱ,14,5分][理]4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有　　　　种. 5.[2021大同市调研测试]某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人参加,且当甲、乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为(　　)A.360B.520C.720D.6006.[2020郑州市第三次质量预测]把12本相同的资料书分配给三个班级,要求每班至少有1本且至多有6本,则不同的分配方法共有　　　　种. \n拓展变式1.(1)[2021河北六校第一次联考]中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马和猴,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有(　　)A.50种B.60种C.80种D.90种(2)[2017天津,14,5分][理]用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有　　　　个.(用数字作答) 2.[2021茂名五校联考]电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事,是一部见证新中国体育改革40年的力作,该影片于2020年9月25日正式上映.在《夺冠》上映期间,一对夫妇带着他们的两个孩子一起去观看该影片,订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见,影院要求每个孩子至少有一侧要有家长相邻陪坐,则不同的坐法种数是(　　)A.8B.12C.16D.203.男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员.4.(1)有5个大学保送名额,计划分到3个班级,每班至少一个名额,有　　　　种不同的分法. (2)将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息,假定每个人可以选择任一房间,且选择各个房间是等可能的,则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为　　　　. 5.(1)将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友,每位小朋友至少分到一个篮球,且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友,则不同的分法种数为(　　)A.15B.20C.30D.42\n(2)某校毕业典礼上安排6个节目,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼上的节目演出顺序的编排方案共有(　　)A.120种B.156种C.188种D.240种答案第一讲　两个计数原理、排列与组合1.A　(1)中,当且仅当这两个排列中的元素完全相同且排列顺序也完全相同时,才是相同排列,所以(1)错误;(2)中组合问题与选取顺序无关,所以(2)错误;(3)中,由排列和组合的概念可知,(3)正确;(4)中,若组合式Cnx=Cnm,则x=m或x=n-m,故(4)错误;(5)中,Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),故(5)错误;(6)中,由排列的概念可知(6)正确.故选A.2.C　不同的安排方法共有C61C52C33=60(种).3.D　分两类:①甲运D箱,有C41·C42·C22A22·A22=24(种);②甲不运D箱,有C42·C32·C22=18(种).所以不同的分配方案共有24+18=42(种).故选D.4.36　由题意,分两步进行安排,第一步,将4名同学分成3组,其中1组2人,其余2组各1人,有C42·C21·C11A22=6(种)安排方法;第二步,将分好的3组安排到对应的3个小区,有A33=6种安排方法,所以不同的安排方法有6×6=36(种).5.D　当甲、乙两人中有一人参加时,有C21C53A44=480(种)发言顺序;当甲、乙两人同时参加时,有C52A22A32=120(种)发言顺序.则不同的发言顺序的种数为480+120=600,故选D.6.25　12本书按照要求分成符合题意的三份,分别是(1,5,6),(2,4,6),(3,3,6),(3,4,5),(2,5,5),(4,4,4),若按(1,5,6)分给三个班,则方法共有A33=6(种);若按(2,4,6)分给三个班,则方法共有A33=6(种);若按(3,3,6)分给三个班,则方法共有A332=62=3(种);若按(3,4,5)分给三个班,则方法共有A33=6(种);若按(2,5,5)分给三个班,则方法共有A332=62=3(种);若按(4,4,4)分给三个班,只有1种方法.所以方法共有6×3+3×2+1=25(种).\n1.(1)C　根据题意,按甲的选择不同分成2种情况讨论:若甲选择牛,此时乙的选法有2种,丙的选法有10种,共有2×10=20(种)不同的选法;若甲选择马或猴,此时甲的选法有2种,乙的选法有3种,丙的选法有10种,共有2×3×10=60(种)不同的选法.则一共有20+60=80(种)选法,故选C.(2)1080　一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C41C53A44=960(个),四个数字都是奇数的四位数有A54=120(个),则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960+120=1080(个).2.C　解法一　将4个座位编号如下,4人的座位可分四种情况,①④坐家长②③坐孩子、①④坐孩子②③坐家长、①③坐家长②④坐孩子、①③坐孩子②④坐家长,所以不同的坐法种数为4A22A22=16,故选C.①②③④解法二　当两个孩子挨着坐且坐在两端时有一个孩子两侧均无家长,所以不同的坐法种数为A44-2A22A22=16,故选C.3.(1)分两步完成:第一步,选3名男运动员,有C63种选法;第二步,选2名女运动员,有C42种选法.由分步乘法计数原理可得,共有C63·C42=120(种)选法.(2)解法一　“至少有1名女运动员”包括以下四种情况:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类加法计数原理可得选法共有C41C64+C42C63+C43C62+C44C61=246(种).解法二　“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,可用间接法求解.从10人中任选5人有C105种选法,其中全是男运动员的选法有C65种.所以“至少有1名女运动员”的选法有C105-C65=246(种).(3)解法一(直接法)　可分类求解:“只有男队长”的选法种数为C84;“只有女队长”的选法种数为C84;“男、女队长都入选”的选法种数为C83,所以共有2C84+C83=196(种)选法.解法二(间接法)　从10人中任选5人有C105种选法,\n其中不选队长的方法有C85种.所以“至少有1名队长”的选法有C105-C85=196(种).(4)当有女队长时,其他人任意选,共有C94种选法;当不选女队长时,必选男队长,共有C84种选法,其中不含女运动员的选法有C54种,所以不选女队长时的选法共有(C84-C54)种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C94+C84-C54=191(种).4.(1)6　一共有5个保送名额,分到3个班级,每个班级至少1个名额,即将名额分成3份,每份至少1个(定份数),将5个名额排成一列,中间有4个空(定空位),即只需在中间4个空中插入2个隔板,不同的方法共有C42=6(种)(插隔板).(2)900　先将5人分成3组(1,1,3或2,2,1两种),再将这3组人安排到3个房间,然后将剩下的2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可,故安排方式共有(C51C41C33A22+C52C32C11A22)·A33·C42=900(种).5.(1)C　四个篮球中两个分到一组有C42种分法,三组篮球进行全排列有A33种分法,其中标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A33种分法,所以共有分法C42A33-A33=30(种).故选C.(2)A　按甲的编排顺序进行分类:①当甲排在第一时,丙、丁相邻的情况有4种,则有编排方案C41·A22·A33=48(种)(丙、丁相邻,将丙、丁“捆绑”成一个元素,有C41种排法;丙、丁排列有A22种排法;余下3个节目全排列有A33种排法);②当甲排在第二时,丙、丁相邻的情况有3种,共有编排方案C31·A22·A33=36(种);③当甲排在第三时,丙、丁相邻的情况有3种,共有编排方案C31·A22·A33=36(种).所以编排方案共有48+36+36=120(种).故选A.