【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第6章 第2节 等差数列（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第6章第2节等差数列北师大版一、选择题1．(文)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝(　　)A．12　　　　　　　　B．14C．16D．18[答案]　D[解析]　该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差D．由a2＝2，a3＝4知d＝＝2.∴a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18.(理)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　)A．1B．2C．3D．4[答案]　B[解析]　本题考查了等差数列的定义和性质．a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5.∴公差d＝a4－a3＝2.2．(文)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　)A．14B．21C．28D．35[答案]　C[解析]　由a3＋a4＋a5＝12得，a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝×7＝7a4＝28.(理)若等差数列{an}的前5项和为S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　)A．12B．13C．14D．15[答案]　B[解析]　解法一：由已知得∴，∴a7＝a1＋6d＝1＋6×2＝13.解法二：S5＝5a3＝25，∴a3＝5，故d＝a3－a2＝2.所以a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13.3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n-7-\n等于(　　)A．6B．7C．8D．9[答案]　A[解析]　设公差为d，∴.∴Sn＝na1＋d＝－11n＋n2－n＝n2－12n.＝(n－6)2－36.即n＝6时，Sn最小．4．等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1,2,3，…)，若当首项a1和公差d变化时，a5＋a8＋a11是一个定值，则下列选项中为定值的是(　　)A．S17B．S18C．S15D．S14[答案]　C[解析]　由a5＋a8＋a11＝3a1＋21d＝3(a1＋7d)＝3a8是定值，可知a8是定值，所以S15＝＝15a8是定值．故选C．5．下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为(　　)A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4[答案]　D[解析]　对于p1，数列{an}的公差d>0，所以数列是递增数列；对于p4，因为(an＋1＋3(n＋1)d)－(an＋3nd)＝d＋3d＝4d>0，是递增数列．对于p2，因为(n＋1)an＋1－nan＝(n＋1)an＋(n＋1)d－nan＝a1＋2nd，a1不知道正负，不一定大于零，所以不一定是递增数列；同理，对于p3，也不一定是递增数列，选D．6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　)A．8B．7C．6D．5-7-\n[答案]　D[解析]　由a1＝1，公差d＝2得通项an＝2n－1，又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5.二、填空题7．(2022·江西高考)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．[答案]　－1<d<－[解析]　本题主要考查等差数列中Sn与an的关系，由题意知a1＝7，且当且仅当n＝8时，Sn取最大值，∴该数列为递减数列且a8>0，a9<0，即⇒－1<d<－.8．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝________.[答案]　54[解析]　设首项为a1，公差为d，由S4＝14得4a1＋d＝14.①由S10－S7＝30得3a1＋24d＝30，即a1＋8d＝10.②联立①②得a1＝2，d＝1，∴S9＝54.9．在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是________．[答案]　5或6[解析]　∵d<0，|a3|＝|a9|，∴a3＝－a9，∴a1＋2d＝－a1－8d，∴a1＋5d＝0，∴a6＝0，∴an>0(1≤n≤5)，∴Sn取得最大值时的自然数n是5或6.三、解答题10．(文)(2022·全国大纲)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．[解析]　(1)由an＋2＝2an＋1－an＋2得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2.即bn＋1＝bn＋2.-7-\n又b1＝a2－a1＝1.所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.于是(ak＋1－ak)＝(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.(理)(2022·新课标Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．[解析]　(1)由题设：anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列.一、选择题1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a2＋a2022，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S2022＝(　　)A．2022B．1008C．22022D．2－2022[答案]　B[解析]　由于A，B，C三点共线，及＝a2＋a2022，∴a2＋a2022＝1，-7-\nS2022＝＝＝1008.2．(文)若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有(　　)A．13项B．12项C．11项D．10项[答案]　A[解析]　依题意，两式相加得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝180.∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，∴a1＋an＝60.∵Sn＝＝390，∴n＝13.(理)等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2022，－＝2，则S2015的值为(　　)A．－2014B．2015C．2014D．－2015[答案]　D[解析]　设Sn＝An2＋Bn，则＝An＋B，－＝2A＝2，故A＝1.又a1＝S1＝A＋B＝－2015，∴B＝－2016.∴＝2015－2016＝－1.∴S2022＝－2015.二、填空题3．各项均不为零的等差数列{an}中，若a－an－1－an＋1＝0(n∈N＋，n≥2)，则S2015等于________．[答案]　4030[解析]　∵an－1＋an＋1＝2an，∴a－an－1－an＋1＝a－2an＝0，解得an＝2或an＝0(舍)．∴S2015＝2×2015＝4030.4．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.-7-\n[答案]　10[解析]　本题考查等差数列通项公式、前n项和公式以及基本运算能力．设等差数列公差为d，则an＝1＋(n－1)d，∵S4＝S9，∴a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，∴a7＝0，∴1＋6d＝0，d＝－.又a4＝1＋3×(－)＝，ak＝1＋(k－1)(－)，∴＋1＋(k－1)(－)＝0，解得k＝10.三、解答题5．等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)D．因为，　所以，解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.(2)因为bn＝＝＝－，所以Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－＝.6．数列{an}中，a1＝8，a4＝(1＋i)(1－i)，且满足an＋2＝2an＋1－an，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，n∈N*，求Sn的表达式．[解析]　(1)∵an＋2＝2an＋1－an，n∈N*，∴an＋2＋an＝2an＋1，∴数列{an}为等差数列．又∵a1＝8，a4＝(1＋i)(1－i)＝2，d＝＝－2.∴an＝8＋(－2)(n－1)＝－2n＋10.(2)令an＝－2n＋10＝0，则有n＝5.∴|an|＝-7-\n∴当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝8n＋(－2)＝－n2＋9n；当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋(－a6－a7－…－an)＝2(a1＋a2＋…＋a5)－(a1＋a2＋…＋an)＝2(－52＋9×5)－(－n2＋9n)＝n2－9n＋40.综上，Sn＝-7-