三年模拟一年创新2022届高考数学复习第六章第一节数列的概念及简单的表示方法文全国通用

第一节　数列的概念及简单的表示方法A组　专项基础测试三年模拟精选一、选择题1.(2022·杭州七校联考)已知数列{an}满足an＋2＝an＋1＋an，若a1＝1，a5＝8，则a3＝(　　)A.1B.2C.3D.解析　a3＝a2＋a1＝a2＋1，a4＝a3＋a2＝2a2＋1，a5＝a4＋a3＝2a2＋1＋a2＋1＝3a2＋2，故a2＝2，因此a3＝a2＋a1＝3.答案　C2.(2022·郑州市一测)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝10，且＝，则a2＝(　　)A.2B.3C.4D.5解析　依题意得＝，a1a3＝5，a2＝＝2.答案　A3.(2022·四川广安诊断)设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为πn，则π2011的值为(　　)A.－B.－1C.D.2解析　由a2＝，a3＝－1，a4＝2可知，数列{an}是周期为3的周期数列，从而π2011＝2×(－1)670＝2.答案　D5\n4.(2022·大连模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　)A.2＋lnnB.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnnD.1＋n＋lnn解析　由已知得an＋1－an＝ln(n＋1)－lnn，所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，…，an－an－1＝lnn－ln(n－1)，以上(n－1)个式子左右分别相加，得an－a1＝lnn，所以an＝2＋lnn.故选A.答案　A二、填空题5.(2022·吉林重点中学联考)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________，an＝________.解析　由an＝n(an＋1－an)，可得＝，则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.答案　2　n6.(2022·广东佛山调研)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为an＝________；数列{nan}中数值最小的项是第________项.解析　当n≥2时，Sn－Sn－1＝2n－11，n＝1时也符合，则an＝2n－11，∴nan＝2n2－11n＝2－，且n∈N*，故n＝3时，nan最小.答案　2n－11　3一年创新演练7.若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋1，则向量m＝(a1，a4)的模为(　　)A.53B.50C.D.5解析　依题意得，a1＝S1＝2，a4＝S4－S3＝(42＋1)－(32＋1)＝7，故m＝(2，7)，|m|＝＝，故选C.答案　C8.已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10＝________.解析　∵an＋an＋1＝bn，an·an＋1＝2n，5\n∴an＋1·an＋2＝2n＋1，∴an＋2＝2an.又∵a1＝1，a1·a2＝2，∴a2＝2，∴a2n＝2n，a2n－1＝2n－1(n∈N*)，∴b10＝a10＋a11＝64.答案　64B组　专项提升测试三年模拟精选一、选择题9．(2022·河北五市一中监测)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a2＝10，S4＝36，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是(　　)A.B．(－1，－1)C.D.解析　设等差数列{an}的公差为d，则由题设得：解得：所以an＝4n－1，＝(n＋2－n，an＋2－an)＝(2，8)＝－4×，所以过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是，故选A.答案　A10．(2022·泰安市检测)在各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，则S2n－1－4n等于(　　)A.－2B.0C.1D.2解析　∵{an}为等差数列，∴an＋1＋an－1＝2an，又∵an＋1＋an－1＝a，∴a＝2an，∵an≠0，∴an＝2，故S2n－1－4n＝(2n－1)·2－4n＝－2.答案　A二、填空题11.(2022·河南南阳三模)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋(n≥2且n∈N*)，则数列{an}中项的最大值为________.5\n解析　an＝an－1＋⇒3nan＝3n－1·an－1＋1⇒3nan－3n－1an－1＝1⇒{3nan}是公差为1的等差数列，∴3nan＝3a1＋n－1＝n＋2⇒an＝(n＋2)，设an＋1－an＝(n＋3)－(n＋2)·＝(n＋3－3n－6)＜0，∴数列{an}单调递减，∴最大值的项为a1＝1.答案　1三、解答题12.(2022·吉林一中月考)根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.解　(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.(2)∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝＝.(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2).当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋.一年创新演练13.已知函数y＝anx2(an≠0，n∈N*)的图象在x＝1处的切线斜率为2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，5\n且当n＝1时其图象过点(2，8)，则a7的值为(　　)A.B.7C.5D.6解析　由题知y′＝2anx，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴an－an－1＝，又n＝1时其图象过点(2，8)，∴a1×22＝8，得a1＝2，∴{an}是首项为2，公差为的等差数列，an＝＋，得a7＝5.故选C.答案　C14.已知函数f(x)＝把函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为(　　)A.an＝(n∈N*)B.an＝n(n－1)(n∈N*)C.an＝n－1(n∈N*)D.an＝2n－2(n∈N*)解析　作为选择题，本题有一种有效的解法是先确定函数的第1，2，3，…有限个零点，即数列的前几项，然后归纳出其通项公式，或代入选项验证即可，据已知函数关系式可得f(x)＝此时易知函数g(x)＝f(x)－x的前几个零点依次为0，1，2，…，代入验证只有C符合.答案　C5